Topologia di R

Topologia di R^m

Sia m ∈ Z > 1.

R^m = ∗ {X = (x₁, ..., x_m) : x_j ∈ R, j = 1, ..., m}.

R^m = R_X ∗ ... ∗ X_R m volte.

Operazioni

X + Y = (x₁) + (y₁) = (x₁ + y₁) ; ∀ x, y ∈ R^m x_m y_m x_m + y_m.

d x = ∗ (x₁) =: (∗ x₁) ; ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ R^m d x₁ d x_m.

R^m è uno spazio vettoriale su R (R è campo degli scalori).

Definizione di norma

Def. Una norma (o modulo) sullo spazio vettoriale R^m è una funzione || . ||: R^m → R x → ||x||.

Tale che:

• ||x|| ≥ 0 ; ∀ x ∈ R^m.
• ||x|| = 0 ↔ x = 0.
• || d x|| = d |∗ |x| ; ∀ α ∈ R ; ∀ x ∈ R^m.
• || x + y || ≤ || x || + || y || (Disuguaglianza triangolare).

Esempio 1

Norma euclidea su R^m è:

|| x ||: = ∗ √∑ x_i² = √ x₁² + ... + x_m² ; ∀ x = (x₁) ∈ R^m i=1 d x_m.

Se m = 1 => ||x|| = |x₁| = |x|.

Topologia di R^m

Sia m ∈ Z > 1.

R^m = {x = (x₁, ..., x_m), x_j ∈ R, j = 1, ..., m}.

R^m = R_x × ... × R_k m_volte.

Operazioni

x + y = (x₁, _y1), ..., (x_m + y_m) ∈ R^m, ∀ x, y ∈ R^m.

α x = (α x₁, ..., α x_m) ∈ R^m, ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ R^m.

R^m è uno spazio vettoriale su R.

Definizione di norma

Def. Una norma (o modulo) sullo spazio vettoriale R^m è una funzione ||•|| : R^m → R x → ||x||.

Tale che:

• ||x|| ≥ 0, ∀ x ∈ R^m.
• ||x|| = 0 ⇔ x = 0.
• ||α x|| = |α| ||x||, ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ R^m.
• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (disuguaglianza triangolare).

Esempio 1

Norma euclidea su R^m è:

||x|| = &radic(; ∑_i=1^m x_i²) = √(x₁² + ... + x_m²), ∀ x = (x₁, ..., x_m) ∈ R^m.

Se m = 1 → ||x|| = |x₁| = |x|.

Esempio 2

||x||=₁ = Σ |x_i| = |x₁| + ... + |x_m|.

ES 1 i: x_i = ¹/_-3 ||x|| = √1 + 9 = √10.

ES 2 ||x||₁ = |1| + |-3| = 4.

Definizione di distanza

Def. Una distanza (o metrica) sull'insieme R^m è una funzione:

d : R^m x R^m → R (x,y) → d(x;y).

Tale che:

• d(x;y) ≥ 0 ; ∀ x, y ∈ R^m.
• d(x;y) = 0 ⇔ x = y.
• d(x;y) = d(y;x) ; ∀ x, y ∈ R^m.
• d(x;y) ≤ d(x;z) + d(z;y) ; ∀ x, y, z ∈ R^m.

Diseguaglianza triangolare.

Esempio 1

La distanza euclidea su R^m è:

d(x;y) := √ Σ (x_i—y_i)² = √(x₁—y₁)² + ... + (x_m—y_m)² ∀ x = (^x₁/_xm), y = (^y₁/_ym) ∈ R^m.

Se m = 1 d(x;y) = √(x₁—y₁)² = |x₁—y₁|.

Esempio 2

d₁(x,y) := ∑_i=1^m |x_i - y_i| = |x₁ - y₁| + ... + |x_m - y_m|.

x = ^[1]_[-3] y = ^[2]_[1].

Es1 d(x,y) = √(1-2)² + (-3-1)² = √17.

Es2 d₁(x,y) = |1-2| + |-3-1| = 5.

Osservazione

Ogni norma induce una distanza: d(x,y) := ||x-y||.

In tal caso ||x|| = d(x,0).

Definizione di prodotto scalare

Def. Un prodotto scalare (o prodotto interno) sullo spazio vettoriale ℝ^m è una funzione:

<.,.> : ℝⁿ x ℝ^m → ℝ (x,y) → <x,y>.

Tale che:

• <x,x> > 0 ∀ x ∈ ℝ^m.
• <x,x> = 0 ⇔ x = 0.
• <x,y> = <y,x>, ∀ x,y ∈ ℝ^m.
• 2 <x,y> = 2 <x,y>, ∀ ∈ ℝ, ∀ x,y ∈ ℝ^m.

Da 2) e 3) segue che:

<αx,y> = α <x,y>, ∀ α ∈ ℝ, ∀ x,y ∈ ℝ^m.

<x,y+z> = <x,y>+ <x,z>, ∀ x,y,z ∈ ℝ^m.

Esempio 1

Il prodotto scalare euclideo su R^m è:

<x,y>:= ∑_i=1^m x_iy_i = x₁y₁ + ... + x_my_m; ∀ x = (_i=1 y_i)^m ∈ R^m.

Es. 1 R² x₀ = (₁ -1), y = (₂ 1).

<x, y> = 1.2 + (-3).1 = 2 - 3 = -1.

Esempio 2

<x, y>_R =: x₁y₂ - 5 x₂y₁ + 2 x₂y₂.

Es. 2 x, y₂ = 1.1 - 5(-3).2 + 2/2(-3)/1 = 25.

Ogni prodotto scalare euclideo induce una norma ||x|| := √<x, x>.

In tal caso: |<x, y>| ≤ ||x||||y|| → disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Il prodotto scalare "definisce" angoli:

cosФ = ⟨x, y⟩||x||||y||.

Diciamo che x, y sono ortogonali se <x, y> = 0.

Intorno sferico aperto

Def. Se x₀ ∈ R^m e r ∈ R>0, è intorno sfero aperto (o sfera o intervallo aperto) di centro x₀ e raggio r e si intende [...].

B_r(x₀) := {x ∈ R^m: ||x - x₀|| < r} = {x ∈ R^m : d (x, x₀) < r}.

Esempio

Se m=1 B₂(x₀) = [x₀-r, x₀+r].

Se m=2 B₂(x₀):

Intorno sferico chiuso

Def. Di intorno sferico chiuso di centro x₀ e raggio r è l'insieme:

B₂(x₀) := {x ∈ ℝ^m | ||x-x₀|| ≤ r} == {x ∈ ℝ^m : d(x,x₀) ≤ r}.

Esempio

Se m=1: B₂(x₀) = [x₀-r; x₀+r].

Sfera o ipersfera

Def. La sfera (o ipersfera) di centro x₀ e raggio r è l'insieme:

S₂(x₀) := {x ∈ ℝ^m : d(x,x₀) = r}.

Si ha che B₂(x₀) = B_z(x₀) ∪ S_z(x₀).

Punti interni, esterni e di frontiera

Def. Siano A ⊂ ℝ^m e x₀ ∈ ℝ^m.

• X₀ è un punto intorno ad A se ∃ r > 0: B_r(x₀) ⊂ A.
• X₀ è un punto esterno ad A se è interno a A^c, cioè se ∃ r > 0: B_r(x₀) ⊂ A^c.
• X₀ è un punto di frontiera di A se non è né intorno se né esterno cioè se ∀ r > 0 (B_r(x₀) ∩ A ≠ Ø B_r(x₀) ∩ A^c ≠ Ø).

FRONTIERA ESTERNO INTERNO.

• Insieme dei punti interni è A^o, si ha che A^o ⊆ A.
• Insieme dei punti di frontiera δA.

Un insieme A ⊂ Rⁿ è detto aperto se A^o = A.

Un insieme A ⊂ Rⁿ è detto chiuso se A^c è aperto.

Un insieme A aperto <=> δA ∩ A = ∅.

Un insieme A chiuso <=> δA ⊆ A.

La chiusura di A è l'insieme: A = A^o ∪ δA (= A ∪ δA).

A è un insieme chiuso <=> A = A, A ⊆ A.

Esempio 1

B_ε(x_o) è aperto.

δB_ε(x_o) = S_ε(x_o) è chiuso.

B_ε(x_o) è chiuso ed è la chiusura di B_ε (x_o).

Esempio 2

∅ e Rⁿ sono gli unici sottoinsiemi di Rⁿ che sono sia aperti che chiusi.

δRⁿ = ∅ δ∅ = ∅.

Esempio 3

A = {x ∈ R² : x₁, x₂ > 0}.

δA = {x ∈ R² : x₁,x₂ = 0} = {x ∈ R² : x₁ = 0 ∨ x₂ = 0}.

A ∩ δA = ∅ => A aperto.

δA ⊄ A => A non è chiuso.

A = {x ∈ R² : x₁, x₂ ≥ 0}.

Esempio 1

ℝ².

A = B₂(0,0) ∪ {x ∈ ℝ²: x₁ = 3}.

⋆A = S₂(0,0) ∪ {x ∈ ℝ²: x₁ = 3}.

⋆A ∩ A ≠ ∅ ⇒ A ← É APERTO.

⋆A ⊄ Æ ⇒ A ࢎ € CHIUSO.

Punti di accumulazione e punti isolati

Def. Siano A ⊆ ℝ^m e x₀ ∈ ℝ^m.

x₀ è un punto di accumulazione di A se ∀ z>0 A∩(B_z(x₀)\{x₀})≠∅.

x₀ è un punto isolato di A se ∃ z₀: A∩B_z(x₀)={x₀}.

Esempio

L'insieme dei punti di accumulazione di A è D(A) ed … detto derivato di A.

A^∘ ⊆ D(A) ⊆ ¯A.

A è chiuso ⇔ D(A) ⊆ A.

Esempio

D(B_z(x₀))=B_r(x₀).

D(S_z(x₀))=S_z(x₀).

D(B_1/2(x₀))=B_1/2 (x₀).

Esempio

ℝ².

A=B_1/2(0,0) ∪ {(m;0): m∈ℤ}.

D(A)=B_1/2 (0;0).