Topologia di R^n

Topologia di Rⁿ

Definizione di interno sferico

L'interno sferico (semplicemente intorno oppure palla) di centro x₀ ∊ Rⁿ e raggio x₀ è l'insieme B(x₀, x) = { x ∊ Rⁿ | d(x, x₀) = ||x - x₀||.

Esempi di interni sferici

• n=1 (un R): B(x₀, x) = { x ∊ R | |x - x₀| }
• n=2 (un R²): B((x₀, y₀), x) = { x, y ∊ R² | √((x - x₀)² + (y - y₀)²) }
• n=3: B((x₀, y₀, z₀), x) = { x, y, z ∊ R³ | √((x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)²) }

L'insieme dei punti interni alla sfera.

Punto di accumulazione

Definizione: Sia A ⊆ Rⁿ, sia x₀ ∊ Rⁿ. x₀ si dice punto di accumulazione per A se ∀ x > 0 (B(x₀, x) ∩ A ≠ ∅).

Intorno bucato

Osservazione: Non si richiede che x₀ ∊ A

Esempio

A = (0,2) ⊆ R , x₀ = 0 ∉ A è un punto di accumulazione?
L'intorno dx (0, x) contiene punti di A comunque preso x > 0.
0 è un punto di accumulazione per A.

Topologia di IRⁿ

Definizione di interno sferico

L'interno sferico (semplicemente intorno oppure palla) di centro x_o ∈ IRⁿ e raggio x_o è l'insieme B(x_o, x) = {x ∈ IRⁿ | d(x - x_o) = ||x - x_o||}

Esempi di interni sferici

• n=1 (un IR): B(x_o, x) = {x ∈ IR | |x - x_o|}
• n=2 (un IR²): B((x_o, y_o), x) = {x, y ∈ IR² | √((x - x_o)² + (y - y_o)²)}
• n=3: B((x_o, y_o, z_o), x) = {x, y, z ∈ IR³ | √((x - x_o)² + (y - y_o)² + (z - z_o)²)}

Definizione di punto di accumulazione

Definizione: Sia A ⊆ IRⁿ, sia x_o ∈ IRⁿ, x_o si dice punto di accumulazione per A se ∀ x > 0 (B(x_o, x) ∖ {x_o}) ∩ A ≠ ∅.

Intorno bucato

Osservazione: Non si richiede che x_o ∈ A

Esempio

A = (0, 2) ∈ IR , x_o = 0 ∉ A è punto di accumulazione?
0 è punto di accumulazione per A.

Insieme limitato

Definizione

Un insieme A ⊆ ℝ^m si dice limitato se ∃ M > 0 tale che ||x|| ≤ M ∀ x ∈ A.

Esempio

• m=2, M=4: ||(x, y)|| ≤ 4 ∀ (x, y) ∈ A.

A ⊆ B(0, M) : { x ∈ ℝ^m | ||x|| ≤ M }

Insieme aperto

Definizione

Un insieme A ⊆ ℝ^m si dice aperto se ∀ x ∈ A ∃ x₀, B(x₀, ε) ⊆ A.

Esempio

1. B(z, R), ∀ z ∈ ℝ^m, ∀ R > 0 è un aperto.

Dimostrazione

Mostriamo che B(x₀, z, ε) ⊆ B(z, R): ∀ x ∈ B(x₀, z) mostriamo che x ∈ B(z, R)
||x - z|| = ||x - x₀ + x₀ - z|| ≤ ||x - x₀|| + ||x₀ - z|| ≤ ε + ||x₀ - z|| ≤ R - Markup + ε + ||x₀ - z|| = ||x - z||.
Dunque ||x - z|| < R, ovvero x ∈ B(z, R) ∀ x ∈ B(x₀, ε).

Proprietà degli insiemi aperti

• ℝⁿ è aperto.
• L'unione di una famiglia (numerabile o non numerabile) di aperti è un aperto.
• L'intersezione di un numero finito di aperti è un aperto.

Esempio

∩_n=1^∞ B(0, 1_n) = {0} non è aperto.

Insieme chiuso

Definizione

Un insieme C ⊂ ℝ^m, si dice chiuso se il suo complementare in ℝ^m è aperto.

Esempio

1. C: = {x ∈ ℝ^m : ||x|| ≤ 4} è chiuso.
2. B: = {(x, y) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} è chiuso.
3. S: = {(x, y) ∈ ℝ² | 1 ≤ |x| ≤ 2, 1 ≤ |y| ≤ 2} S non è chiuso.

Proprietà degli insiemi chiusi

• ℝ^m e ∅ sono chiusi.
• L'intersezione di una famiglia (numerabile o non numerabile) di chiusi è un chiuso.
• L'unione di un numero finito di chiusi è un chiuso.

Proprietà speciale

Gli unici sottoinsiemi di ℝ^m che sono aperti e chiusi sono ℝ^m e ∅.

Insiemi compatti

Definizione

Un sottoinsieme K ⊂ ℝ^m si dice compatto se è chiuso e limitato.

Punti interni ed esterni

Definizione di punti interni

Sia A ⊆ &Ropf;^m, sia x_o &element; &Ropf;ⁿ. Se ∃ x_o ∃ B(x_o, x) &subseteq; A, x_o si dice interno ad A.

Definizione di punti esterni

Sia A ⊆ &Ropf;^m, sia x_o &element; &Ropf;ⁿ. Se ∄ x_o ∃ B(x_o, x) &subseteq; A, x_o si dice esterno ad A.

Definizione di punti di frontiera

Se x_o non è né interno né esterno ad A, si dice punto di frontiera di A.

Int A := {punti interni di A} “L’^’x interno di A”
Est A := {punti esterni di A} “L’^’x esterno di A”
Fx(A) := {punti di frontiera di A} “La frontiera di A”

Proprietà dei punti

• Int A è aperto ed è il più grande aperto contenuto di A.
• Int A ∪ Fx(A) è un chiuso ed è il più piccolo chiuso contenente A, detto chiusura di A.
• Fx(A) è un chiuso.
• ∀ A ⊆ &Ropf;^m &Ropf;ⁿ = Fx(A) ∪ Int(A) ∪ EstA, unione disgiunta.

Proprietà

A è aperto ↔ A = Int A
A è chiuso ↔ A = A^-

Esempio

A = {(x,y) &element; &Ropf;ⁿ | 1 < x² + y² < 4}.
Calcolare Int(A), Fx(A), Est(A).