Topografia - Teoria ed esercitazioni

Cenni sulla probabilità

La probabilità è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. Tutti i casi possibili devono essere equiprobabili. La definizione frequentista si basa sul fatto che al tendere delle prove all'infinito si stabilizzerà il valore della probabilità. La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1. Se gli eventi sono incompatibili: p(A∪B) = p(A) + p(B). Se si possono verificare entrambi: p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B).

Teorema della probabilità totale

p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B).

Probabilità condizionata

p(A|B) = P(A∩B) / P(B). Probabilità che si verifichi A sapendo che B si è verificato. p(A|B): probabilità che si verifichino entrambi.

Probabilità composta

A è stocasticamente indipendente da B se: P(A|B) = P(A). Condizione necessaria e sufficiente affinché non vi sia affinità tra A e B: si ha P(A|B) = P(A) · P(B). Se p(A|B) = p(A) = p(A∩B) / p(B), p(A|B) = P(A) · P(B). P(A∩B) = P(A) · P(B). La probabilità composta è P(A∩B).

Teorema di Bayes

Dalla definizione di probabilità condizionata: p(A|B) = p(A∩B) / p(B). P(B|A) = p(B∩A) / p(A). P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A). P(B) = p(A) · p(B|A).

• 40% capelli chiari
• 25% occhi azzurri
• 60% capelli scuri
• 75% occhi azzurri

Probabilità che ha occhi azzurri?

Cenni sulla probabilità

La probabilità è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. Tutti i casi possibili devono essere equiprobabili. La definizione frequentista si basa sul fatto che al tendere delle prove all'infinito si stabilizzerà il valore della probabilità. La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1. Se gli eventi sono incompatibili: p(A+B) = p(A) + p(B). Se si possono verificare entrambi: p(A+B) = p(A) + p(B) - p(A∩B).

Teorema della probabilità totale

p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B).

Probabilità condizionata

p(A|B) = p(A∩B) / p(B). Probabilità che si verifichi A sapendo che B è verificata. p(A|B) = probabilità che si verifichino entrambi.

Probabilità composta

A è stocasticamente indipendente da B se: p(A|B) = p(A). Condizione necessaria e sufficiente affinché non ci sia affinità tra A e B è che p(A|B) = p(A) · p(B). Se p(A|B) = p(A∩B) / p(A∩B) / p(B) then p(A∩B) = p(A∩B). p(A∩B) = p(A) · p(B). La probabilità composta è p(A∩B).

Teorema di Bayes

Dalla definizione di probabilità condizionata: p(A|B) = p(A∩B) / p(B). p(B|A) = p(A∩B) / p(A). p(A|B) = p(B|A) · p(A) / p(B) = p(B|A) · p(A) / p(B).

• 40% capelli chiari
• 25% occhi azzurri
• 60% capelli scuri
• 75% occhi azzurri

Probabilità che ha occhi azzurri?

Probabilità che abbia anche capelli chiari?

Se A: capelli chiari P(A) = 0.4. B: occhi azzurri. A': capelli scuri P(A') = 0.6. P(B): P(B|A)·P(A) + P(B|A')·P(A') = 0.25·0.40 + 0.07·0.60 = 0.142. P(A|B): P(B|A)·P(A) / P(B) = 0.10 / 0.142 = 0.7042.

Variabile statistica e casuale

Una variabile casuale è una variabile che descrive i possibili risultati di un esperimento. Esistono due tipi di funzioni: la funzione di distribuzione F(x) e la funzione densità di probabilità f(x).

• F(x) rappresenta la probabilità che estraendo a caso un individuo dall'insieme degli individui di cui si prende in considerazione il valore argomentale x, l'estratto individuo possieda un valore argomentale minore o uguale a x₀.
• f(x) prende il nome di densità di probabilità.

La variabile statistica è una tabella a due righe di valori numerici: gli elementi della prima riga sono detti valori argomentali; gli elementi della seconda sono frequenze assolute (N_i) o relative (fr_i).

X = x1 x2N1 N2 dove ΣNi rappresenta numerosità del campione. NX = x1 x2fr1 fr2 dove fri = Ni/N.

Indici di posizione (o di centro)

Media: μ=∫x f(x) dx per una variabile casuale continua. M=∑x_iP_i per una variabile casuale discreta (probabilità). m=∑x_i fr_i per una variabile statistica.

Mediana: il valore per il quale si ha P(x ≤ te)=P(x ≥ te) per una variabile casuale continua, ovvero il valore t che divide in parti uguali l'istogramma. Per variabile statistica.

Moda: valore con frequenza più alta. La somma degli scarti di ogni osservazione rispetto alla media è pari a 0. ∑(x_i−m) = 0.