Topografia e cartografia

Cartografia

Rappresentazione dell’ellissoide sul piano

1. Una volta definiti attraverso la Geodesia le superfici cui riferire i punti della superficie fisica terrestre, è compito della Cartografia stabilire come si possa rappresentare la prescelta superficie sul piano costituito dal foglio di carta (o di speciale materiale plastico praticamente indeformabile come si fa per gli originali delle carte). La cartografia si occupa cioè della rappresentazione sul piano della superficie dell’ellissoide S.

In termini matematici: f: S → piano. Se si è entro il campo topografico, la superficie di riferimento è il piano tangente, cosicché non vi è alcuna difficoltà per la sua rappresentazione sul foglio piano. Ma se si deve rappresentare senza produrre deformazioni nell’estensione tanto vasta, per cui la superficie di riferimento è la sfera locale o l’ellissoide, la cosa si complica notevolmente stante l’impossibilità di svolgere su un piano la superficie naturale di riferimento.

La metrica dell’ellissoide, infatti, non è pitagorica come quella del piano o come quella cilindrica o conica. La geometria intrinseca dell’ellissoide, determinata dai coefficienti della metrica, è diversa da quella del piano, cioè l’ellissoide non è applicabile sul piano, o come suol dirsi non è sviluppabile. Pertanto ogni possibile rappresentazione sul piano non può essere una esatta riproduzione in scala del globo terrestre. Questo provocherà delle inevitabili deformazioni.

In un punto della rappresentazione si potranno prendere in considerazione tre moduli: il modulo di deformazione lineare, il modulo di deformazione areale; in quanto agli angoli si può considerare la deformazione di un determinato angolo in quanto questa, se è presente, dipenderà dall’ampiezza dell’angolo stesso.

Se con ds_e si indica un archetto infinitesimo sull’ellissoide e con ds_r il corrispondente nella rappresentazione (fig. 1), si definisce modulo di deformazione lineare il rapporto: ds_r / ds_e, il cui valore varia sempre da un punto a punto della rappresentazione, perché nel caso contrario si avrebbe una rappresentazione senza deformazioni.

Analogamente indicando con dA_e l’area racchiusa da un quadrilatero infinitesimo nell’ellissoide con dA_r quella racchiusa dal corrispondente quadrilatero sulla rappresentazione (fig. 2), si definisce modulo di deformazione areale il rapporto: m_A = dA_r / dA_e.

Considerato poi un meridiano sull’ellissoide e la linea, trasformata del meridiano, che gli corrisponde nella rappresentazione (fig. 3), un elemento di linea sull’ellissoide forma un angolo α (azimut) con il meridiano, mentre l’elemento corrispondente nella rappresentazione forma un angolo α’ con la linea trasformata del meridiano; si definisce deformazione angolare la differenza: δ = α’ - α.

Classificazione delle rappresentazioni cartografiche

2. La rappresentazione piana dell’ellissoide comporta sempre delle deformazioni, ma si possono definire delle rappresentazioni in cui è possibile annullare, non contemporaneamente, la deformazione lineare, la deformazione areale o la deformazione angolare. Vediamo i casi possibili.

• Rappresentazioni isogone o conformi: il modulo di deformazione lineare, pur variando da punto a punto, non varia in uno stesso punto al variare della direzione dell’elemento, pertanto, a meno di infinitesimi di ordine superiore, le figure infinitesime sul piano risultano simili alle corrispondenti sull’ellissoide, con il rapporto di similitudine che varia però da punto a punto; ne deriva che l’angolo formato da due elementi infinitesimi sull’ellissoide, ovvero l’angolo fra le tangenti a due linee uscenti da un punto, risulta uguale all’angolo formato fra le tangenti alle trasformate di tali linee sulla rappresentazione. Nelle carte conformi la deformazione angolare è quindi nulla in ogni punto (δ = 0).
• Rappresentazioni equidistanti: le distanze infinitesime sul piano risultano proporzionali alle corrispondenti sull’ellissoide, almeno lungo le direzioni principali, per cui si mantiene costante il rapporto fra le lunghezze di due archetti infinitesimi corrispondenti, cioè è costante ed uguale all’unità il modulo di deformazione lineare (m_A = 1).
• Rappresentazioni equivalenti: le aree delle superfici infinitesime sul piano risultano proporzionali a quelle delle corrispondenti superfici sull’ellissoide, per cui si mantiene costante il rapporto fra le aree di due quadrilateri infinitesimi corrispondenti, cioè è costante ed uguale all’unità il modulo di deformazione areale (m_a = 1).
• Rappresentazioni afilattiche: sono presenti tutti i tipi di deformazione ognuno dei quali è però mantenuto nei limiti più ristretti possibili.

Elementi che definiscono una rappresentazione

3. La rappresentazione dell’ellissoide sul piano è definita da due funzioni: x = x(φ, λ), y = y(φ, λ), che stabiliscono una corrispondenza biunivoca fra la posizione di un punto P sull’ellissoide, data dalle coordinate geografiche φ e λ, e la posizione del corrispondente punto P’ sul piano della rappresentazione, data dalle coordinate piane x e y.

La soluzione completa dei problemi inerenti una rappresentazione dell’ellissoide sul piano comporta pertanto:

• La definizione delle formule di corrispondenza e delle formule inverse: φ = φ(x, y), λ = λ(x, y) (1).
• La definizione dei moduli di deformazione e della deformazione angolare in funzione delle coordinate geografiche φ e λ o meglio, o meglio per gli usi pratici, in funzione delle coordinate piane x e y.
• La definizione del reticolato geografico ovvero la determinazione delle linee che sulla rappresentazione costituiscono le trasformate dei meridiani e dei paralleli e, in particolare, la definizione dell’angolo γ, convergenza dei meridiani, che la tangente in un punto alla trasformata del meridiano forma con la parallela all’asse delle ordinate y. Vanno inoltre determinati gli angoli ε, riduzione alla corda, che la trasformata della geodetica nella rappresentazione forma con il tratto rettilineo, che la approssima, congiungente gli estremi della geodetica stessa. È utile inoltre determinare, per le pratiche applicazioni, il rapporto l / l’ fra la lunghezza della congiungente rettilinea dei punti A e B e la lunghezza dell’arco di geodetica.

4. Pur prediligendo le rappresentazioni rispetto alle proiezioni, è significativo esaminare almeno una carta ottenuta come proiezione nell’ipotesi semplificativa che la superficie di riferimento sia sferica. Si accorda che le superfici sviluppabili su cui eseguire le proiezioni sono il piano, proiezioni prospettiche, il cilindro e il cono, proiezioni per sviluppo.

Utilizzando il piano, si hanno, a seconda di dove si dispone il punto di proiezione P, le proiezioni centrografiche, stereografiche, scenografiche ed ortografiche; nelle proiezioni per sviluppo il cono o il cilindro si dispongono tangenti o secanti l’ellissoide e il punto di proiezione è in genere il centro dell’ellissoide o un punto all’infinito in direzione normale alla linea di tangenza.

Proiezione stereografica polare

4. Nella proiezione stereografica polare i punti dell’ellissoide sono proiettati su un piano tangente ad un polo con il centro di proiezione sull’altro polo; si assume l’asse y della rappresentazione nella direzione in cui si proietta il meridiano fondamentale.

Sia A un punto sulla superficie di riferimento di coordinate φ e λ ed A’ la sua proiezione (fig. 7), risulta:

OAP = π/4 - φ/2
OA’ = 2Rtg(π/4 - φ/2)

E pertanto le equazioni della rappresentazione sono:

x = 2Rtg(π/4 - φ/2)senλ
y = 2Rtg(π/4 - φ/2)cosλ

Facendo il rapporto delle due equazioni si elimina la coordinata φ e risulta:

y = xcotgλ

Per cui con λ = cost si ha l’equazione di una retta; i meridiani sono quindi rappresentati da rette uscenti dall’origine delle coordinate cartografiche (fig. 8).

Quadrando le due equazioni e sommando membro a membro si elimina la coordinata λ e risulta:

x² + y² = [2Rtg(π/4 - φ/2)]²

Per cui per φ = cost si ha l’equazione di un cerchio; i paralleli sono quindi rappresentati da circonferenze concentriche con il centro nell’origine degli assi (fig. 8). I raggi di queste circonferenze sono evidentemente maggiori dei raggi dei corrispondenti paralleli e in particolare all’equatore corrisponde una circonferenza di raggio 2R.

Essendo la proiezione conforme, il modulo di deformazione lungo il parallelo è uguale a quello lungo il meridiano; tale modulo vale 1 ovvero non si ha deformazione, nell’intorno del polo e arriva a 2, ovvero le dimensioni di un elemento lineare sulla rappresentazione sono il doppio di quelle del corrispondente elemento sull’ellissoide, sulla circonferenza che rappresenta l’equatore.

Equazioni differenziali delle rappresentazioni conformi

6. Partendo dalle espressioni dell’elemento lineare sull’ellissoide ds² = ρ²dφ² + r²dλ² e del corrispondente elemento sulla carta ds’² = dx² + dy² ed adottando sull’ellissoide un sistema di coordinate tale da essere isotermo, rdu = ρdφ; du = ρ/rdφ; u = ∫ ρ/rdφ:

dx = ∂x/∂u du + ∂x/∂λ dλ
dy = ∂y/∂u du + ∂y/∂λ dλ

E = X_u² + Y_u²
F = X_uX_λ + Y_uY_λ
G = X_λ² + Y_λ²

ds’² / ds² = Edu² + 2Fdudλ + Gdλ² / r²du² + dλ²

La direzione di ds cioè il suo azimut è dato da: tgα = dλ/du.

Dire che m è indipendente da α significa affermare che è indipendente da dλ/du. Perché questo si verifichi è necessario che:

F = 0
E = G

X_uX_λ + Y_uY_λ = 0
X_u² + Y_u² = X_λ² + Y_λ²

X_u² / Y_λ² = -X_λ² / Y_u²
X_λ² + X_λ² / Y_λ²X_u² = Y_u²(1 + X_λ² / Y_λ²)

(X_λ² + Y_λ²)[1 + (X_u / Y_λ)²] = 0

Dunque X_λ = Y_u e X_u = -Y_λ, otterremo così le [1]:

∂y/∂u = ∂x/∂λ
∂y/∂λ = -∂x/∂u

Poiché le rappresentazioni conformi sono definite da un sistema di equazioni alle derivate parziali; le soluzioni si possono trovare a meno di funzioni arbitrarie, infinite rappresentazioni conformi. La particolarizzazione della rappresentazione si ha imponendo le condizioni al contorno. Si può verificare facilmente che se sono soddisfatte le [1], l’angolo tra le due linee uscenti da un punto è conservato nella rappresentazione.

Uso delle funzioni di variabile complessa per definire le rappresentazioni conformi

Le equazioni [1] coincidono con le equazioni di omogeneità di Cauchy e cioè con le condizioni necessarie e sufficienti affinché la variabile complessa y + ix si possa definire quale funzione della variabile complessa u + iλ.

Tutte le rappresentazioni conformi hanno quindi equazioni che possono essere ricavate dalla relazione:

y + ix = f(u + iλ)

Dove la funzione f è arbitraria; tale relazione può essere sviluppata in serie di Taylor con termini immaginari assumendo come incremento la quantità immaginaria iλ con λ espresso in radianti; si ha pertanto:

y + ix = f(u) + f’(u)iλ + 1/2! f’’(u)(iλ)² + 1/3! f’’’(u)(iλ)³ + 1/4! f^IV(u)(iλ)⁴ + 1/5! f^V(u)(iλ)⁵ + …

E tenuto conto che i² = -1; i³ = -i; i⁴ = 1; i⁵ = i;

y + ix = f(u) + f’(u)iλ - 1/2 f’’(u)λ² - 1/6f’’’(u)iλ³ + 1/24f^IV(u)λ⁴ + 1/120f^V(u)iλ⁵ - …

Uguagliando le parti reali e i coefficienti dell’immaginario si ricava:

y = f(u) - ½ f’’(u)λ² + 1/24 f^IV(u)λ⁴ - … [2]
x = f’(u)λ - 1/6f’’’(u)λ³ + 1/120f^V(u)λ⁵ - …

Dunque, tutti i tipi di rappresentazione possono essere ottenuti particolarizzando la f(u) e, conseguentemente, tramite le derivate di questa funzione, tutti gli altri elementi dei secondi membri delle [2].

Da notare che particolarizzare la f(u) equivale a stabilire a quale valore deve corrispondere il valore della latitudine per ogni punto del meridiano fondamentale (λ = 0), o, in altre parole, a stabilire come si deve trasformare tale meridiano.

Rappresentazione conforme di Gauss

5. Le operazioni di tipo geodetico richiedono l’applicazione di sviluppi in serie troncati le cui approssimazioni hanno validità accettabile entro determinati campi. È possibile altresì spingere gli sviluppi in serie fino a termini di qualsiasi ordine o di utilizzare serie rapidamente convergenti per ottenere le precisioni volute in campi molto più ampi.

Invece di seguire questa strada è utile affrontare il problema dell’effettuazione di calcoli geodetici direttamente sul piano. Particolarmente utile allo scopo risulta essere la rappresentazione conforme di Gauss che permette di risolvere i problemi geodetici con notevoli semplificazioni nelle formule e maggiore facilità di calcolo. Considerato inoltre che la Carta di Gauss è quella utilizzata per la cartografia ufficiale Italiana, ne illustriamo le caratteristiche fondamentali.

Nella carta di Gauss si impone che il meridiano origine fondamentale (λ = 0) sia sviluppato in vera lunghezza.

f(u) = ∫ rdu = ∫ ρdφ
y = f(u) (λ = 0)

È evidente che questa condizione è sufficiente a definire la rappresentazione.

Per il calcolo delle f(u) ovvero delle ℓφ si ricorre ad uno sviluppo in serie di ρ che poi viene integrato termine a termine ottenendo una funzione del tipo:

f(u) = Aφ - Bsen2φ + Csen4φ - Dsen6φ + …

Con A, B, C, D dipendenti dai valori dell’eccentricità e e dal semiasse equatoriale a. Sostituendo nelle [2] si ottengono le coordinate piane:

x = f(λ, N, φ)
y = f(λ, N, φ)

Che sono essenzialmente quelle che consentono di costruire la carta, di calcolare cioè le coordinate piane dei punti cui si conoscono le coordinate geografiche.

x = x(φ, λ) [3]
y = y(φ, λ)

Ponendo alternativamente nelle [3] φ = cost e λ = cost si ottengono le equazioni parametriche dei paralleli e dei meridiani che sono rappresentati da due famiglie di curve tra loro perpendicolari.

Reticolato geografico

6. Le trasformate di meridiani e paralleli sono delle linee alquanto complesse.

La rappresentazione di Gauss è una rappresentazione conforme e pertanto gli angoli misurati sulla carta corrispondono perfettamente con gli angoli misurati sull’ellissoide; le lunghezze misurate sulla carta sono invece deformate rispetto a quelle misurate sulla superficie di riferimento.

In figura 11 è rappresentato il reticolato geografico, ovvero il complesso di linee che rappresentano le trasformate di meridiani e paralleli: si noti che la trasformata centrale è un segmento di retta; inoltre si può facilmente constatare che mentre il meridiano centrale viene rappresentato senza subire alcuna deformazione, la deformazione cresce rapidamente allontanandosi dal centro.

Se si vogliono ridurre le fortissime deformazioni occorre limitare il valore della differenza di longitudine dei punti rispetto al meridiano fondamentale, per cui la rappresentazione viene fatta per fusi, porzioni di ellissoide compresi tra 2 meridiani, di determinata ampiezza per ognuno dei quali si assume un diverso meridiano di riferimento; in questo caso, il valore di λ che interviene nelle formule è la differenza fra la longitudine di un punto e la longitudine del meridiano preso come riferimento.

In figura 12 i fusi hanno un’ampiezza di 20°; nelle pratiche applicazioni però i fusi non superano l’ampiezza di 6°, ovvero λ non supera il valore di 3°: assunto cioè l’antimeridiano di Greenwich come meridiano fondamentale, si costruisce una serie di 60 fusi aventi ciascuno ampiezza di 6° e si rappresenta in un unico riferimento (x, y) la porzione di territorio i cui punti abbiano differenze di longitudine rispetto al meridiano centrale inferiori o uguali a 3°.

Ciò consente di semplificare notevolmente le formule, in quanto i termini in 10^-4 contenuti in espressioni di grandezze dimensionali risultano dell’ordine di 0,5*10^-5 e possono essere quindi in genere trascurati.

Angolo fra la trasformata di un meridiano e l’asse y

Per le applicazioni è utile trovare l’angolo γ che in un punto P della rappresentazione, la tangente alla trasformata del meridiano forma con la parallela all’asse y della rappresentazione (fig. 13), angolo che risulta uguale a quello che la tangente alla trasformata del parallelo forma con la parallela all’asse x visto che, essendo la rappresentazione di Gauss conforme, le trasformate del meridiano e del parallelo passanti per un punto formano un angolo di π/2.

Considerando il triangolo rettangolo infinitesimo che ha per lati un elemento dp di trasformata del parallelo e per cateti dx e dy, si ha dopo opportune semplificazioni:

tgγ