Test statistici

Test statistici: aspetti generali

In statistica se vogliamo provare qualcosa dobbiamo ipotizzare l'opposto, detto ipotesi nulla e segnata come H₀.

Non possiamo accettare un'ipotesi ma solo rifiutare l'opposta rafforzando l'intuizione.

Valutiamo l'ipotesi nulla H₀:

• Se il test rivela che H₀ è vera non abbiamo motivo di rifiutare H₀ e l'ipotesi alternativa (quella che vogliamo valutare) viene rifiutata.
• Se il test fallisce (H₀ è falsa) rifiutiamo H₀ e l'ipotesi alternativa risulta rafforzata.

Quando confrontiamo due campioni di dati, l’ipotesi nulla prevede che non esista differenza tra i due riguardo al parametro considerato.

Esempio: confronto le medie di due campioni di dati ipotesi nulla: le 2 medie hanno lo stesso valore.

Rifiutare un’ipotesi nulla potrebbe essere la decisione giusta o no:

• Errori di tipo I: rifiutiamo un'ipotesi vera.
• Errori di tipo II: accettiamo un'ipotesi falsa.

Livello di significatività α

Probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla anche se corretta.

È la probabilità di compiere un errore di tipo I ed è a carico dello sperimentatore.

Test statistici: aspetti generali

In statistica se vogliamo provare qualcosa dobbiamo ipotizzare l'opposto detto ipotesi nulla e segnata come H₀.

Non possiamo accettare un'ipotesi ma solo rifiutare l'opposta rafforzando l'intuizione.

Valutiamo l'ipotesi nulla H₀:

• Se il test rivela che H₀ è vera non abbiamo motivo di rifiutare H₀ e l'ipotesi alternativa (quella che vogliamo valutare) viene rifiutata.
• Se il test fallisce (H₀ è falsa) rifiutiamo H₀ e l'ipotesi alternativa risulta rafforzata.

Quando confrontiamo due campioni di dati, l'ipotesi nulla prevede che non esista differenza tra i due riguardo al parametro considerato.

Esempio: confronto le medie di due campioni di dati ipotesi nulla: le 2 medie hanno lo stesso valore.

Rifiutare un'ipotesi nulla potrebbe essere la decisione giusta o no.

• Errori di tipo I: rifiutiamo un'ipotesi vera.
• Errori di tipo II: accettiamo un'ipotesi falsa.

Livello di significatività α

Probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla anche se corretta.

È la probabilità di commettere un errore di tipo I ed è a carico dello sperimentatore.

Nel test statistico

• Definiamo una variabile X con distrib. di prob f(x).
• Assumiamo un'ipotesi nulla H₀ da verificare.
• Limite α (livello di significatività).
• Calcoliamo la prob. di ottenere un valore di X maggiore di α.

Quella evidenziata è la prob. di rifiutare H₀ anche se corretta.

Attenzione: la distribuzione che andiamo ad usare è la distrib. di prob. della variabile del test e non quella associata alle misure.

Zona 1: regione di accettazione

Se la variabile cade qui l'ipotesi nulla non può essere rifiutata => ma non implica che H₀ sia vera. Il campione di dati non offre sufficiente evidenza contro H₀. (decisione debole)

Zona 2: regione di rifiuto

Se la variabile cade qui, l'ipotesi nulla deve essere rifiutata => rafforza l'ipotesi alternativa il campione di dati fornisce sufficiente evidenza che H₀ sia falsa (decisione forte)

α è a scelta dello sperimentatore: si assumono alcuni livelli tipici: P[X ≥ α] < 5% o P[X ≥ α] < 1% dipende se ti sta giocando il Nobel oppure no!

Il test statistico non permette una decisione sicura, ma solo una valutazione probabilistica. Questo metodo lo abbiamo già usato per capire se il S/N fosse attribuito a una vera sorgente o a una fluttuazione.

Es

Ipotesi nulla:

S/N = 2 si tratta di una fluttuazione.

Calcoliamo la prob. che la distrib. nei conteggi del background includa valori uguali o maggiori di quelli in esame:

χ₂(2) = 0,02 = 2%

Abbiamo il 2% di prob. che l’ipotesi nulla (i conteggi appartengono al fondo) sia vera.

Rigettiamo l’ipotesi nulla e stabiliamo che i conteggi appartengano a una sorgente ma con la consapevolezza che abbiamo il 2% di prob. di aver cannato.

Confronto tra 2 campioni: test statistici

Il problema dei due campioni

In generale, ci poniamo il problema di confrontare 2 campioni per stabilire se vengono dalla stessa popolazione.

Come fare?

• Assumere che i 2 campioni appartengono alla stessa distribuzione.
• Confrontare alcuni parametri specifici (media...).

Vediamo un caso:

Popolazione distribuita secondo Gauss con varianza σ² e valore m asp. μ.

2 campioni:

• N₁, media X_₁ e varianza s_₁².
• N₂, " X_₂ e " s_₂².

Aumentando N →: X_₁ → μ, X_₂ → μ;

s_₁² → σ², s_₂² →