Teoria ed Enunciati - Analisi Complessa

Riassunto teoria analisi complessa

Corso di Matematica della Fisica, a.a. 2021/2022, Università degli studi Milano Bicocca

Indice

1 Numeri complessi 2

2 Funzioni complesse 2

2.1 Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Condizioni di Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 Singolarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.5 Serie di Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Integrazione sul piano complesso

3.1 Dominio semplicemente connesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Integrali di funzioni complesse su curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Lemmi di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Serie di Laurent 8

4.1 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Prodotto in serie di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4 Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.5 Prolungamento analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Funzioni armoniche 10

6 Mapping proprieties 11

6.1 Trasformazioni lineari fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7 Sviluppi in serie di Taylor principali 12

1 Numeri complessi

iθz = x + iy = r(cosθ + isenθ) = r e∈ |z| ∈ ∨ ∈x, y R, r = > 0, θ = argz [0, 2π) θ = argz (−π, π]

x = rcosθ y = rsinθ

p ^{2 2}r = x + y

 sey x > 0arctan x sey −arctan π x < 0 y < 0 x sey arctan + π x < 0 y > 0 xy  seπθ = arctan x = 0 y > 0x 2 seπ − x = 0 y < 0 2 se π x < 0 y = 0 se2π x > 0 y = 0

−iθiθe + ecosθ = = cosh(iθ)2 −iθiθ −e e sinh(iθ)sinθ = =2i i

iargz+2πi|z|logz = log|z| + argz + 2πi dato che z = e∈argz = argz + 2πn, n Z

2πin iα∈ |e | ∈e = 1 n Z = 1 α R

2 −1 |z|i = z z̄ =

2 Funzioni complesse

2.1 Continuità

È in se è definita in un intorno di e se esiste finito il limite:f (z) z z continua 0 0

lim f (z) = f (z )0z→z 0

Il limite è definito come:

∀ϵ ∃δ |z − | ⇒ |f −> 0, > 0 t. c z < δ (z) f (z )| < ϵ0 0z

Il limite deve essere indipendente dal cammino scelto per avvicinarsi a 0

Sia f: e allora f è continua in se e solo se u e v⊆ → ∈D C C, f (z) = u(x, y) + iv(x, y) z = x + iy D, z0 o 0 0sono funzioni continue in (x , y )o 0 2

2.2 Derivabilità

Sia f: C e diciamo che f è derivabile in se:⊆ → ∈D C z D z0 0

−f (z + h) f (z )0 0 ′lim =: f (z )0hh→0

esiste finito.

La definizione appena data è equivalente a richiedere che esista finito:

−f (z) f (z )0lim −z zz→z 00

Se è derivabile z D allora si dice che è in D;∀ ∈f (z) f (z) olomorfa

2.3 Condizioni di Cauchy-Riemann

Necessarie e sufficienti affinchè sia differenziabile in senso complesso inf (z) z 0

 ∂ u(x , y ) = ∂ v(x , y ) x 0 0 y 0 0 −∂∂ u(x , y ) = v(x , y ) y 0 0 x 0 0

Dalle quali la derivata di si può esprimere come:f (z) ∂ u + i∂ v x x −∂ v i∂ u y y′f (z) = −∂ u i∂ u x x∂ v + i∂ v y x

Criterio: se ⇒∂ f (z) = 0 f soddisfa Cauchy-Riemann.z̄

Se in D allora f è in D.⇒∂ f (z) = 0 olomorfaz̄

Se una funzione è olomorfa, saranno soddisfatte le equazioni di Cauchy-Riemann.

Una funzione è detta se è esprimibile in serie di potenze.Analitica

Se una funzione è analitica è anche differenziabile, infatti ogni funzione analitica, in quanto scrivibile comeserie di numeri complessi, ha sia parte reale sia parte immaginaria differenziabile inoltre:

′∂ f (x + iy) = if (z) = i∂ f (x + iy)y x

2.4 Singolarità

Diciamo che è punto di singolarità per se stessa o le sue derivate non sono definite in .z f (z) f (z) z0 0

• F può avere singolarità isolate:
• Rimovibili;
• Di tipo polo di ordine k;
• Essenziali;
• F può avere singolarità non isolate: punti di diramazione (logaritmi o radi