Teoria e proprietà delle funzioni

Valore assoluto e nozione di intervallo

La funzione valore assoluto mi dà il vantaggio che elimina eventuali segni (-). Non causa problemi se scambio X e X₀ (in questo caso, perché se cambio il loro valore assoluto non cambia. Per parlare di distanza/vicinanza, si utilizza quindi questa funzione.

Nozione di intervallo

Di intervalli ce ne sono tanti. Per intervallo, s’intendono tutti i punti che stanno TRA un punto e un altro. Sappiamo che a<b:

• (a,b) ⇒ a < x < b ⇒ aperto
• [a,b] ⇒ a ≤ x ≤ b ⇒ chiuso
• (a,b] ⇒ a < x ≤ b
• [a,b) ⇒ a ≤ x < b
• (a,+∞) ⇒ x > a ⇒ aperto
• [a,+∞) ⇒ x ≥ a ⇒ chiuso
• (-∞,b) ⇒ x < b ⇒ aperto
• (-∞,b] ⇒ x ≤ b ⇒ chiuso

Limitati

Illimitati

Nozione fondamentale per il concetto di vicinanza

X₀ sia un numero reale. X₀ ∈ ℝ. Si definisce intorno di X₀ un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto X₀.

Esempio

X₀=1, (0,2) è un intorno del punto 1. Sicuramente sì, perché 1 è contenuto nell’intervallo che va da 0 a 2.

(1,2) è un intorno del punto 1? In questo caso no. Perché X₀ ∈ intervallo aperto. Quindi il punto deve stare dentro anche se (1,2) non è un intervallo aperto.

(0,∞) è un intorno di 1, perché questo intervallo parte da 0 a +∞ quindi contiene al suo interno.

(-∞,0) è un intorno di 1, perché questo intervallo parte da 0, ma è negativo.

Si definisce intorno di +∞ ogni intervallo aperto del tipo (a,+∞).

Si definisce intorno di -∞ ogni intervallo aperto del tipo (-∞,b).

L’intervallo permette quindi di quantificare l’avanzarsi di punto X₀ o chi per.

Per quantificare la distanza di quest'intorno dal punto X₀, si fa: a ≤ x ≤ b ⇒ (x - q) Pongo q₁ - q₂ = ∞ o quindi ottengo X₀ - Σ ≤ x ≤ X₀ + Σ = L’intorno simmetrico di x₀ con semiampiezza usata ∈ Σ.

La funzione valore assoluto ha per vantaggio che elimina eventuali segni (-) e mai causa problemi se scambio x₁ e x₂ (in questo caso) perché se li scambio il loro valore assoluto non cambia. Per parlare di distanza/vicinanza, si utilizza quindi questa funzione.

Nozione di intervallo

Di intervalli ce ne sono tanti: per intervallo, s’intendono tutti i punti che stanno tra un punto e un altro. Sappiamo che a < b:

• (a, b) → a < x < b = aperto
• [a, b] → a ≤ x ≤ b = chiuso limitati
• (a, b] → a < x ≤ b
• [a, b) → a ≤ x < b
• (a, +∞) → x > a = aperto
• [a, +∞) → x ≥ a = chiuso illimitati
• (-∞, b) → x < b = aperto
• (-∞, b] → x ≤ b = chiuso
• (-∞, +∞)

Nozione fondamentale per il concetto di vicinanza

x₀ sia un numero reale. x₀ ∈ R. Si definisce intorno di x₀ un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto x₀.

Esempio

x₀ = 1: (0, 2) è un intorno del punto 1? Sicuramente sì, perché 1 è contenuto nell’intervallo che va da 0 a 2.

(1, 2) è un intorno del punto 1? In questo caso, no. Perché x₀ ∈ intorno, non deve essere l’estremo: il punto 1 deve stare dentro anche se (1, 2) è un intervallo aperto.

(0, +∞) è un intorno di 1 perché questo intervallo parte da 0 e va oltre quindi contiene il suo intero.

(-∞, 1) non è un intorno di 1 perché questo intervallo parte da -∞ e va fino a 1 ma non lo comprende a destra.

Si definisce intorno di +∞ ogni intervallo aperto del tipo (a, +∞).

Si definisce intorno di -∞ ogni intervallo aperto del tipo (-∞, b).

Tutti i punti dell’intervallo (a, b) sono obbedienti: a < x < b.

Ovunque. È unione tra noti.

L’intero permale quindi da quan(x)re = avananso di punto x₀ o chi per vno.

Per quantificare la distanza di quesh intorno, del punto x₀, si fa: a ≤ x < b (x₀ - q) x (x + q) Pongo q > 0 e quindi ottengo: x₀ - ≤ x ≤ x₀ + e L’intorno simetrico di x₀ con semi-ampiezza solida è e.

-ε < x-x_o < ε ⇒ |x-x_o| < ε

Funzione e punto di accumulazione

Supponiamo di avere la seguente funzione: y

Cosa succede ai valori della funzione, quando la variabile si avvicina a un certo punto?

Considero x_o e quando mi ci avvicino, i valori gli si avvicinano.

Considero x_o e in questo caso sembra che i valori tendono a diventare sempre più grandi. Posso determinare ciò che accade, anche se mi avvicino da una parte sola.

Considero x₁ e y₁; questo caso non ha alcun senso interessarsi di cosa accade, perché la funzione non è definita.

Definizione

Sia A un sottoinsieme di R, cioè un insieme non vuoto di numeri reali. (x ∈ R, x_o ≠ +∞, -∞,...)

Si dice punto di accumulazione per A, se ogni intorno di x_o contiene ALMENO un punto dell’insieme A diverso da x_o.

Esempio

Considero l’intervallo A = (2,5) → Quali sono i punti di accumulazione?

A. Ciò che è stato detto per il punto x_o è da considerarsi vero per ogni punto dell’intervallo A. Infatti sono punti di ACCUMULAZIONE TUTTI I PUNTI DI INTERVALLO APERTO ]2,5[.

Considero l’intervallo aperto perché anche 2 e 5 sono punti di accumul. Se anche prendendo in questo punto 0,5 cioè 2 e 5 stessi, ci sono dei valori contenuti nell’intervallo. Inoltre anche i punti iniziali si considerano...

Esempio 1

A: (1, +∞)

Se prendo un punto successivo al 1¹â€ sarà un PUNTO D'ACCUMULAZIONE. Anche se è d'accumulazione, questo perché qualsiasi intervallo si scelga da 1¹â€ in avanti ci sono dei punti che stanno dentro.

Quindi l'insieme dei punti d'accumulazione è (-∞, +∞) {+∞} {+∞}

Esempio 2

A: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2, ..., n)

PUNTI D'ACCUMULAZIONE ⇒ {+∞}

NON è ACCUMULAZIONE PERCHÉ CONSIDERO N

Esempio 3

A: ¹â€â€‚ ca un intero ⇒ {¹â€‰â€¦•, ¹â€‰â€¦œ, ¹â€‰â€¦›, ¹â€‰â€¦Ÿ}

PUNTI D'ACCUMULAZIONE ⇒ {0}

Unico possibile è lo 0. Perché un insieme A, come precedente, che ci sia un numero finito? necessita che ci sia un numero finito.

Esempio 4

(−1/40000, 1/40000) ε=1/40000, basta prendere n>400000.

Limiti

RIASSUMENDO: Il limite è SQUETICA, in qualche senso la funzione di essere vicino A UN PUNTO.

PUNTO D'ACCUMULAZIONE: nei dintorni è possibilità di AVVICINARSI A UN PUNTO stando in un certo intervallo.

LIMITI: Limite: quando le variabili si avvicinano a un certo valore, il valore della funzione, assume un certo valore.

Così succede nei valori della funzione (e che essi si avvicinano), quando le variabili si avvicinano a un certo valore possibile.

Definizione di limite

Sia f funzione definita in un intorno di x₀. Sia x₀ punto di accumulazione per A (x ε R, −∞. Si dice che il limite di tendere di x per x₀ = b se c'è ε > 0 in A allora ε immagine appartiene a V (f(x).

1. Preso un intorno di V_o arbitrario, V mi definisce un intorno U.
2. Preso un punto x nell'intorno di U, la sua immagine si trova nell'intorno di V.

V è immagine di x.

Nell’intorno di x_o, più mi avvicino a x_o, più la funzione V vale valori più grandi, quindi considero V che va a +∞. Quindi se prendo valori nella parte destra dell’intorno di x_o questi avranno come immagine nell’intervallo V.

Se prendo valori di U che stanno alla sinistra di x_o, anche le immagini non si perdono lì; la funzione non si ferma e quindi quando questi punti sono di più.

A me interessa ciò che succede nell’intervallo considerato, cioè come intervallo di dominio, che non appartiene all’intervallo definitivo, fate che le immagini stanno in V.

Limite con X_o e L reali

Supponiamo debba essere nel caso in cui sia X_o che L siano numeri reali. X_o ∈ R e L ∈ R.

U = (X_o - δ, X_o + δ) INTORNI SIMMETRICI SEGANTI NEL PUNTO.

V = (L - ε, L + ε)

V viene determinato da 1; per ogni ε > 0 esiste un intorno U (determinato da δ) esiste δ > 0 tale che se |x - x_o| < δ allora |f(x) - L| < ε.

Limite con L = +∞

Supponiamo che X_o ∈ R e L = +∞.

U: (X_o - δ, X_o + δ)

V = (K, +∞) delimitato verso destra da K in poi.

Quindi stare in V significa essere maggiori di K e stare in U vuol dire essere maggiori di x_o - δ e minori di x_o + δ.

Perciò: Es. ogni V (determinato da K) esiste δ > 0 tale che se |x - x_o| < δ e f(x) < V, quindi stai in V.

Limite con X_o = -∞

Supponendo: X_o = -∞ e L = ± ∞.

U = (-∞, H) tutti i punti prima di H.

V = (K, +∞) tutti i punti dopo K.

L'intorno V è definito unicamente da H e il suo secondo estremo.

L'intorno V è definito unicamente da K il suo primo estremo.

Devo partire da X_o quindi per ogni K esiste H tale che se x < H e allora f(x) > K.

Chiaro: lim_x→Xo f(x) = Lo f(x) ** x ** ε

Limite semplice

LIMITE: è il valore a cui tende una funzione quando la variabile, a sua volta, tende ad un punto plausibile, detto d'accumulazione.

Quindi: COSA SUCCEDE QUANDO LA VARIABILE TENDE A UN CERTO VALORE (?)

LIMITE SEMPLICE: Sia f: A → R (-> Sia f una funzione definita nell'insieme A, a valori reali).

Sia X_o punto d'accumulazione di A (X_o ∈ R, X_o ≠ +∞ +∞).

Diremo che lim_x→xo f(x) = L (Ɛ ∈ R+ l'intorno +∞ e -∞) se per OGNI intorno V del L esiste ALMENO UN intorno U di x_o tale che se X∈U A x→x_o, allora f(x) ∈ V.

Sia f: I → R I intervallo costituito da più intervalli.

x ∈ I se in questo caso X una può essere x₀ = + ∞ e x₁ = - ∞ perché la funzione è definita in un altro intervallo.

f è continua nel piano se lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Proprietà delle funzioni continue

1. Il limite può non esistere

Funzione sin x: ^13.13sin x < 4

Se x → + ∞ lim_ite in questo caso NON esiste.

Il valore oscilla sempre tra -1 e 1.

Questo vale per tutte le funzioni periodiche.

2. Il limite se esiste, è unico

Supponendo che il tendere di x₀ da destra ci siano due limiti: I valori della funzione non possono stare contemporaneamente sia in V₁, che in V₂.

Se i valori avvicinano p₁, non si avvicinano al p₂ e viceversa.

f(x) = 1/x. x₀ è un punto d'accumulazione, perciò ha senso chiedersi di valore fa la funzione quando x → x₀.

Se mi avvicino a x₀ da destra, i valori di x aumentano e sembrano tendere a +∞.

Se mi avvicino da sinistra, sembrano tendere a -∞.

Ma se il LIMITE ESISTE, è unico!

Quindi il limite non può valere ±∞, perché accadono due cose diverse a seconda che ci si avvicini da sx o da dx.

Però se chiedo il limite del VALORE ASSOLUTO della stessa funzione…

lim_x→x0 |x/x₀| = …

f(x) = |-1/x|

f(x) = |1/x|

Il valore assoluto di qualsiasi cosa (q) equivale a: |q| = |-q| (-q ≤ q ≤ ∞).

In questo caso il limite c'è!

Perché: lim_x→x0 f(x)=ℓ ⇔ ∀u ∈ A e x ≠ x₀ ⇒ f(x) ∈ V.

lim_x→x0 g(x)=ℓ ⇔ ∀u ∈ A e x ≠ x₀ ⇒ g(x) ∈ V.

lim_x→0⁺ 1/x = +∞

lim_x→0^- 1/x = -∞

Teorema della permanenza di segno

Se il limite di una certa funzione f ad un certo valore positivo, allora esiste un intorno U di x₀ in cui f > 0.

Ovvero lim_x→x0 f(x) = l > 0 ⇒ esiste U di x₀ in cui f > 0 e viceversa…

a) Ho dei casi in cui son sicuro che il limite esiste?

f(x) = (1 + ¹/_x)^x con x ->∞

lim x to 0 f(x) = ?

lim x to ∞ g(x) = ?

Proprietà della monotonia

Proprietà della monotonia: proprietà che caratterizza le funzioni e che ha esempi riscontrati nella rappresentazione grafica delle stesse.

La Monotonia esprime la crescita o la decrescita di una funzione o nessuna delle due cose, nel caso di una funzione periodica.

Una funzione è monótona se presenta sempre lo stesso andamento.

Monotonia crescente

Monotonia decrescente

g: A -> R

Si dice monótona crescente se: x₁ x₂ A x₁ < x₂ allora g(x₁) < g(x₂).

g: A -> R

Si dice monótona decrescente se: x₁ x₂ A x₁ < x₂ allora g(x₁) > g(x₂).

Simbologia

Crescente: x₁ < x₂ -> g(x₁) < g(x₂)

Strettamente crescente: x₁ < x₂ -> g(x₁) < g(x₂)

Quindi se g è monótona crescente o decrescente e x_o es accumulazione per definizione allora esistono sempre:

lim x to x_o f(x)

lim x to x_o f(x)

Se una funzione è monótona limiti da una parte e dell'altra esistono sempre.

Primo caso: f crescente

- lim f(x) = ESTREMO SUPERIORE x→x₀⁻ DELLA FUNZIONE QUANDO x→x₀

- lim f(x) = ESTREMO INFERIORE x→x₀⁺ DELLA FUNZIONE QUANDO x→x₀

Funzioni continue

Tutte le funzioni elementari che son state presentate sono continue nel loro INSIEME DI DEFINIZIONE.

1. f(x) = xⁿ ⇒ continua per ogni x₀ reale.
2. g(x) = x^^α continua per ogni x₀>0 se α≤β e per ogni x₀>0 se α>β con α, β∈ℝ.
3. f(x) = eˣ continua per ogni x₀ ∈ ℝ.
4. g(x) = log_ax continua per x₀>0.
5. f(x) = sinx e f(x) = cosx continua per ogni x₀ ∈ ℝ.
6. g(x) = tgx continua ∀ x₀ ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ.

Teorema degli zeri

C'è un punto in cui cosx = x ⇒ x - cosx = 0.

Non è possibile determinare il valore di x₀, si può solo fare un'approssimazione.

Sia f una funzione continua in I=[a,b] ciò vuol significare che essa è continua anche ai di fuori, ma in questo caso ci interessa solo di quell’intervallo.

g(x)=x-cosx

I=[0,π]

Supponiamo che nel primo estremo la funzione sia negativa (g(a)0).

g(0)=0-cos 0

g(π)=-1

g(0)=0 importante è che il segno agli estremi sia discorde.

Allora esiste almeno un punto c E I in cui g si annulla. (g(c)=0)

Questo teorema mi dice che esiste un punto ko in cui la funzione si annulla - Come costruire il punto ko, caso approssimato.

Esercizio

Punto 1 Punto e Punto medio fa < b = 0 (a+b)/2 < 0 a1=a+b/2 < b=b1 > 0 (a1+b1)/2 < 0 a2=a1 < b=b1 a1+b1/2 < 0.

NB: se a nel punto 1 e f > 0, deve sempre essere > 0 tutta la colonna; di conseguenza se a<0, bot. Quindi b sarà >0 per tutta la colonna.

Parto dagli unici punti che conosco:

a=a g(a)<0

b=b g(b)>0

1° passaggio: prendendo il punto medio (a+b)/2.

2° passaggio: vedo se l’estremo della funzione nel punto medio (ricordando che sia negativo).

A seconda che sia positivo o negativo, le cose cambieranno.

III^O PASSAGGIO:

Sono partita da un intervallo in cui gli estremi avevano segno opposto: a₁ = a e b₁ = b.

Lo secondo intervallo lo prendo in maniera tale che l'intervallo mantenga questo caratteristica, perché se c'è un punto in cui la funzione si annulla potrà risiedere di una passaggio e quindi non vederlo.

Quindi: (a₁+b₁)/2 se f((a₁+b₁)/2) < 0 e allora b₂ = b₁.

Oppure (a₁+b₁)/2 se f((a₁+b₁)/2) > 0 e allora a₂ = a₁.

Continuo poi a realizzare intervalli interni al primo (a₁; b₁), trovando il punto medio e determinandone il segno:

Vado avanti all'infinito.

Supponendo che x non sia MAI uguale a 0, ho costruito una successione di intervalli in cui gli estremi di sinistra sono minori e uguali dei loro successori e gli estremi di destra sono maggiori e uguali dei loro predecessori.

Inoltre, l'ampiezza dell'intervallo è ogni volta 1/2^a del precedente.