Teoremi e dimostrazioni Meccanica razionale

Preliminari matematici

Teorema Eulero di ✗ R ammette Allora R IR sia )013 =/ come 1c- con =., autovalore l' passante retto semplice Esiste origine' per uno r cioe, dalla che lasciato rotazione fissato R viene.

Analisi vettoriale

Proposizione funzione composta

VETTORIALEANALISI PROPOSIZIONE funzione composta DERIVATA METROPftrtdiverse ÈÌÌÉÉÌVETORIAUOÈ FUNZIONIDUEc' rifletti b) IhDdi tela leat identitàgono :,, ,È.tk/=dyY-.tlfi-n-lfl.dIglhzI-plu-lHnilH- d;Y-nv-b-/ IN1 a- IN ^componenteverifica DIM Si componente→ per.

Proposizione costante vettoriale

PROPOSIZIONE COSTANTEVETTORIALEDERIVATA FUNZIONE donoDotcom Di b) Nlf )(f) la /chetale1- /CIRc-c- costante=/,dujff.it/f)=0iihoche duelli1-È IN d' p"'☐ ftp.cost/ .tt/f/=HM-lfYl=C0STI INE Ep PROPRIETÀLE.tt/f))--2dY-glfI-..N-ff)-- SFRUTTO CICLICHE(f)(O 0= Da Pronto:#& IN /1- MAIse cosi=.

Curve nello spazio e nel piano

CURVE SPAZIOPIANONEL NELLOETEOREMA VETTORE COSTANTEUN MODULODERIVATA DI DI %)DIÈquelli diilLa direzione di ' 1-cioesonoe vano ,Considero il derivatovettore lo di MODULO: DIVETTOREunparametrodipendente vettoreal'da ORTOGONALECOSTANTE une estesso . Sia dalrettoreDIM dipendenteTIH |un& + /" "" "" """ " "" "" " "=rispetto EAll' dunque1 t.it 29PAGINAa anno =. .entrambe membriDeriva LIBRO ANALISI 2ottengoi et.DEII. .ITaii o+ = o=§' Tcioe DIMOSTRATA0 TESI=. . )( PROPRIAORTOGONALE DERIVATAVETTORE ATEORIA DEI MOMENTIALVARIAZIONI POLAREMOMENTOLEGGE PoloVARIAREDI DELDEL '°-Sia --B- A ApplicatoVETTORE -• _,*MTO momentoil) polare rispetto isuo• a }' altro punto0• un avremo :,rittoMTO ( A)' /'+10)) B-0 ✗ %= -"'☐ sottraggosommoMTO' (/ A) )() ' (=/ A)-0+0-0 'A -0 B✗ B A ✗ == - -A-txlB-A-T-TIT-B-n-t-M-F-IIB.at=/LEGGE TRASPOSIZIONE V.DI PER ASISTEMAMOMENTI DIDEI .laRiferimentoPoloPER CAMBIARE DiBN ANCHEusa :☒ siA-)Ù) '( PINI- MJPY-1101G(g) g G-n+ +-= POLODELvariaALLA 7- .M-hiiiifi-riarispeitodvmioediofe.IO IKEO'-I È MioMTOY )• O= =/

Teoria dei momenti

Proprietà definizione asse centrale

PROPRIETÀ DEFINIZIONE asse centrale vettori delloData di applicatisistema puntoesiste 0 spaziounun calcolando momenti iltale che adessorispettoi RISULTANTEMOMENTO,, dlo NTONIparallelo sistemadelMTO ) sia 'RISULTANTE cioe,retto dettogeometricoIl tali puntiluogo di ' CENTRALEASSEunoe ,OghnlntllInSISTEMADEL . sianoSio RÌO il talideigeometricoluogo }depunti cheÓ ↳M' paralleloe' netto(a) ttdeltoad Asse centrale= uno+ .quindi luogo deiil punti)NTONIper cui.

VERSIONEµ PAGINAf) ALTRA17/ 5 MtoltO MIAMTOc- ) +=, ,O' } MTOI InitMTOI MTO' MINI ) -110 O'e + =/= -,, nè-14104 ☒-115101MIO (( )' ok O ') ' -0Dawn +.name ++ =, ,VETTORIALE che InkMIO MTOIMiosappiamo MI .dk -110 O''→) / == µ -,<Imponiamo TT ('(G) )0 PER ASSEDEFINIZIONE CENTRALE=+¢ Ì)' M'-0 (a) ' un'N.B. EQUAZIONE VETTORIALEn eL= .)' -0( 0I INCOGNITA'' l'e= AGGIUNTATTPer M c)( 0 Rt MAILsowadonecondizione →Esistenza= ADRISPETTO1-. MOMENTOI ☒ HÌMt( IRt^g)( O'☒ c- UN+ ; Punto= dell'- Asse= 'R µ ②CENTRALEInoltre c- AssoMÌAd) Lilt12¥01p( XR=. + -¥ -R-nmtok-R-nliei.ir/+MTok-TEiiiixl=RnlMTD-MToh )ÀMTOIn In IN) Maira== - ) trx({ MAHRf.✗ +-= ,cartesianeequazioniEQUAZIONE CENTRALEASSE /=pinformaASSE R )CENTRALE Mio -1114MHz) Rx,§ ,ÉÌÌ? " -✗[" Initio ÌR) →g), film+ .ua Mokhtar_ = ⇐122 :-ASSE CENTRALE"M'" RÈSe (g)E- alloraIV. B o see= NON ESISTE

Sistemi equivalenti

Teorema 2.2.1 sistemi equivalenti

TEOREMA 2.2.1SISTEMI EQUIVALENTIDIPROPRIETÀ sistemi equivalenti DI )applicatidiVllSimo sistemidue vettori µ ~e ,,piu ÈSe RÌ hannoVllallora① stesso=\ CENTRALE1 ASSE= = ., PIUµ è EQUIVALENTE UNA COPPIA #AD2 = invariante scavareoneoaad applicato 1=0( )vettoresingolo'tl RptEQUIVALENTE3 #e un ( E- "ad "applicato ")vettoresingolo'tl RptEQUIVALENTE piùe un4 Itocoppia èuna ÉÉÙÌÉÀÌÈNTE# voltare' altl5 nullaEQUILIBRATOe suo .condizione3DIM APPLICATOuntoremomentonecessaria singolo/;]"È M-ld-to-yn.itsi Inµ ù # -0;0= -~ O=InI MIA •=•= . MÌOInoltre È OMTO /è minimo) ☒ c- centraleAsse✗ = .condizione sufficiente . 5pita M-ft-o.tt 0I c-a →-_ , hannocentrale{ } all' quindi' Si0,17LI 0( ) asseecon= . dell'puntoinfiniti equivalentisistemi ogniuno per,CENTRALEASSEÈMDI equivalente adsistema diPer µ 'applicativettoriMB ogni e unvettori costituisconodiapplicatidisistema COPPIA3 cui 2 una .dato5 µio ic- ,, } {{ TIOH KittAnttila -4 (/ Io( ARTµ ' =- -,, ,. , ,È MÌMTOI nèÈRif f- Mo )IO) -0; + =- =-- la èBIV. unicacoppia non . A 3• vi+NON

Teorema variG 2.2.4

TEOREMA VARIG 2.2.4DI avettoridi leUn applichisistema cuineld'rette punto èR Ìazione concorrono In.applicatovettore .equivalente solo Am1inuna .,sistemadelallouguale risultante .DIMBasta che Iad cheverificare a ASSEc- CENTRALE 0=e .risultanteIl almomento nullorispetto quantopunto r inè ,d'mettoappartiene appartieneciascuno azionee a esso; delinvariantel' scalare sistemaPertantoall' èASSE CENTRALE nulla.il applicatovettoresingoloè )equivalente al fr.atsistemae TEOREMA 12 2SISTEMI EQUIVALENTIDI adallo applicatobase vettoresingolo/ 'tl EQUIVALENTE3 unin eSCOMEGA )IH( )Rpt ET RIPETO cosa VALORIQUI LA stessa ma con.✗. .all' cheverificare IcentraleBasta che r c- 0asse e = ,ÈMTN a)/ tiAi F-n restare nullo== -poiche a)/' tiviAi h✗ ^ 4=- , ..." È iiipiiiiìtièiiè centraleall': Èe. iii. asseMa -o=,

Teorema paralleli su vettori applicati 2.2.2

TEOREMA PARALLELISU vettori applicati 2.2.2I INVARIANTE SCALAREsistema hoOgni quindi1=0di edV. P ièA. . ,R-mCOPPIAUNAEQUIVALENTE Ode• AD = IEQUIVALENTE SOLOUN APPLICATOVETTOREAD f- 0• se µla risultanteConsideriamoDIM È Fissato punto 5è =/ 0ÈF- è/ /Ivi c-unvi, ..MI ;É) Èè )È / nè/lui-0in ( Ai Da/ Ai -0Ai vi== = - ,.fi/eY--o---F-Evit-È Ècheha quindise si 0# o ,)ÈÈ ):( 8) nè treMTNI. scolare/ l':(è perchéAiI ① 'invariantevvi. e=.= - ipotesi# per/annullomistoprodotto siun èè ✗vettorideiquando due 3 sono ÈPUNTO ONELVETTORE APPLICATO DI RISULTANTE)Q̵ ){ ( O CENTRALEASSEc-~ ,

Teorema complanari su vettori applicati

TEOREMA COMPLANARISU VETTORI APPLICATIIOgni hodi ed 'sistema IV. A. complanari 0 ie= }R-m PERCOMECOPPIAUNAEQUIVALENTE O Ide• Ad = APPLICAVETTORIInEQUIVALENTE SOLO ParallelUN APPLICATOVETTOREAD• se -1-0INCOGNITA APPLICAZIONEP 0È T.EE) )-0 Ai -0'= PERCHÉDAEstrarrePROPRIETÀ sommatorianon possoCENTRO C ""dirai " esiste" " se- }) / Ritoti { ( i 42Aiuti = sen= ., . , CSIdallaindipendente del G.il {sceltaè polocentro1 c-centraleall' teil }centro Rappartiene ciò(2 asse c- evale direzioniletutteper .DIM ' punto-1-0 quindiConsidero 50 '1 cioe nuovoc- nuovouneun?" ""Ècentri I. È" | e sottraggosonnon8):( Ai /'v ( -0+0-0÷ Ai= viÈ - =.nuoto ✓ iPro i -1 ,÷÷ okio -ÈÈÉma→ PERCHÉETÉEtf c' c= + =il ? fpnrn-p.cm&rispettoConsideriamo momento 'centro )che appartengo adf.%Ea.iecioe2 ÈÌÌC nè MI))( ( =/ :( -01A ) nt-lai.pe-01dB ai)vi AiAi) c;= - -.-i = n È ÌTOÈMk vie )Ai) / ntic)( Ai( C) sen= = -- DEÈ SE Ei ,= MI ÈÈNULLO "VETTORE Èivi )( a-AE- c)cc- c : == - , RISPETTO CaÈV /momentoil nullaquindi-4=5:( 'Ai ese all' centraleconcludere che appartienepossiamo c asse}è IRe a- OGNIPER DIREZIONE . UNDI

Cinematica punto materiale

Teorema di Poisson 3.2.1

CINEMATICAPUNTO MATERIALE( Poisson)diTEOREMA 3.2 1. } di'Data } ' EÈ )nudola base ontano levogira 5( un, ,mobile allaortogonalecartesiano rispetto(sistema )'0 '''× ±y ,, ,esistefissa Allora vettoresolo(terna ut7)0 × unoy e µ,, .toh d- ÷ di '' con i DIFORMULE= 'cit dj 'ltnj POISSONao =pp dài ù .• .dtformule PoissondiDIM .ÉTÉ §¥ rettorelo temporalederivato""" di// conunut |→cost ←= stessoal vettoremodulo cotanta 'e ortogonale .di " !È' !È15 'È !/ ti/ ' "/ ' 5=/ ' treg-1 :• →cost= di.inoltre lorotraortogonaliE '' 'g-t→• sono ., ,di ' È È' !I' ' È=p È 'si +1335 'Te Kp• ✗+ =✗; += ;a.,di ,*☒ ortogonalitàrelazioni di ' )( ( E)E=D 't' '( 5i. g- '• 0;;=p o= =• .EÉÉÉdii : J' )! èpiùE) ÈRI( J')t'pa. + += ...ee?::::iadt*dt ¥13= ✗ 2=0+, )d À )li dlj' ! 'E 82+133--0Stessa Ti/ 3--0✗ eper =+=cosa dt diquindiavremof. PPat {✗ 2=0 ; :*- ,✗✗+ =↳ -} nPta 0t =} wntlwzji-ws.tt "quindi introduciamo questo seguentivettore imponendole=• uguaglianzeN' -13=82{ ⇐chetale 3=-81WEE ✗FISSIAMO Pyµ ✗noi E-E -}§ -1KITL '' Walt '' utnì1315 wsj =-= E '''ì j ' ''E Wsj/ ) wzk-5 )/'utili ' wa -+wooW _-W -= =un },1 0O§É- 'KE' I''' utnjdai Usi -1W+ =-=E '''ì j ''È / K/È Wsi)/' -1W^5 un =+woo -W - ,Wr= =un }10 0§ ' 'J'-1133J '' utnfsi Wai W✗ =- - ,-= E '''ì j 'Wnj' '} / /Ìftwz Waì)È W =-1 -^ WWr -= =un ,}00 1 7- #l'unicità che Wsupponiamo i: 4¥:[ 'ftp.w-ui .io#nInè ;; =di 'di ' nt' ')* * niE- ' =/ itutnt=_ --didf"÷ 9¥ IIw-Yn-jio-dk.dk' # ' (E- èutnj ùnj - --- -_- ' *' nrt ' )Ink 'nrta- *a-( at --= -didt↳b deveIn NYil vettore Essere-☒ '( ) §' )è ✗* (✗) *✗ ParalleloRANEAMEMTcominioit#( it ; ←W;it µ- -- MOBILIal 3 VERSO RI ! !1✓ SOLOPOSSIBILE .' ' se[ E #'t ut=pLOROORTOGONALI TRAMa Osono - =, ,a-

Definizione galileiana

DEFINIZIONE GALILEIANA MENTEOSSERVATORI EQUIVALENTI. Principio di relatività galileiano: tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme--l’uno, rispetto all’altro,