Meccanica Razionale, prof. Demeio, Tutti i teoremi e le dimostrazioni per l'esame orale + esercizi

Meccanica razionale

Grandezze dinamiche

^{d r e v di P e quindi sono funzioni generai di fare}

Quantità di moto o momento lineare: p̅ = mv̅ d/dt = ṗ = d(mv̅)/dt = ma̅ = F̅

Momento angolare: K(O) = (P-O) x p dK(O)/dt = K̇(O) = d/dt(P-O) x p + (P-O) x d/dt = (P-O) x F = N(O)

Momento della forza: N(O) = (P-O) x F̅

Potenza: W = v̅.F̅

Vincoli

Si dice vincolo un qualunque bipartito atto a limitare l'insieme di variazione di una o più coordinate di un insieme di punti materiali.

L'espressione matematica di un vincolo può essere data da un'equazione o da una disequazione. Un vincolo espresso mediante un'equazione è detto vincolo bilatero; un vincolo espresso mediante disequazione è detto vincolo unilatero.

Si chiama "spazio delle configurazioni" di un insieme di N punti materiali vincolati quel sottoinsieme di R^3N che è determinato dalle equazioni di vincolo, e che è compatibile con i vincoli imposti.

Si dice numero di gradi di libertà di un sistema di punti materiali vincolati, e si indica con il simbolo l, la dimensione dello spazio delle configurazioni proprie, e equivalentemente, il numero di parametri liberi e indipendenti che determinano lo spazio delle configurazioni.

Nel caso in cui le coordinate di un sistemi di punti siano vincolate ad appartenere ad una regina di iper-un la dimensione dello spazio delle configurazioni rimane la stessa, come in assenza di vincoli.

Meccanica razionale

Grandezze dinamiche

Sono funzioni di v e p quindi sono funzioni generatrici

Quantità di moto o momento lineare: p = mv̇ ^d_dtṗ = ^d_dt(mv̇) = ma = F

Momento angolare: K(o) = (P-o) × p ^d_dtK(o) = ^d_dt(P-o) × p + (P-o) × ^d_dtφ^p_dt = (P-o) × F = N(o)

Momento della forza: N(o) = (P-o) × F

Potenza: W = v · F

Vincoli

• Si dice vincolo un qualunque dispositivo atto a limitare l'intervallo di variazione di uno o più coordinati di un insieme di punti materiali.
• L'espressione matematica di un vincolo può essere data da un'equazione o da una disequazione. Un vincolo espresso mediante un'equazione è detto vincolo bilatero; un vincolo espresso mediante disequazione è detto vincolo unilatero.
• Si chiama spazio delle configurazioni di un insieme di N punti materiali vincolati e quel sottinsieme di R^3N che è determinato dalle equazioni di vincolo o che è compatibile con i vincoli imposti. ※
• Si dice numero di gradi di libertà di un insieme di punti materiali vincolati, e si indica con il simbolo l, la dimensione dello spazio delle configurazioni oppure, equivalentemente, il numero di parametri liberi e indipendenti che descrivono lo spazio delle configurazioni.

※ Nel caso in cui le coordinate di un sistema di punti siano vincolate ad appartenere ad una regione di spazio, la dimensione dello spazio delle configurazioni rimane la stessa, come in assenza di vincoli.

Spostamenti virtuali

Sono gli spostamenti consentiti dai vincoli istante per istante.

Uno spostamento virtuale δr si dà reversibile e anche -δr è uno spostamento virtuale.

Classificazione dei vincoli

Vincoli fissi e vincoli mobili

Un vincolo si dice fisso quando le equazioni o disequazioni di vincolo non contengono esplicitamente il tempo; se lo contengono, il vincolo si dice mobile.

Agli spostamenti reali elementari d⊥, in un intervallo di tempo, contribuiscono lo spostamento virtuale δr e lo spostamento di trascinamento d⊥, che è nullo se la guida è fissa. Se i spostamenti reali e i spostamenti virtuali sono diversi, allora si è in presenza di vincoli mobili.

Vincoli bilateri e unilateri

Già definiti in precedenza. Gli spostamenti virtuali che corrispondono a un vincolo bilatero non sempre avvengono.

Vincoli geometrici e cinematici

Quando nelle equazioni o disequazioni di vincolo compaiono forme solo delle coordinate, si hanno vincoli di tipo geometrico o di posizione. Quando tra gli argomenti x ci sono anche le relative ˙x, il vincolo si dice cinematico o di motilità.

Vincoli cinematici integrabili

Derivano dall'integrazione di un vincolo in cui compare la velocità.

Vincoli olonomi