Teoremi di Analisi

Prelimiti

Monotonia

Se è strettamente monotona, allora è iniettiva.

Funzioni continue

Funzioni continue, ∘ ∘ Se sono continue, allora anche e lo sono.

Teorema degli zeri

Teorema degli zeri: [, ] → ℝ [, ], () ∗ () < 0, () = Sia continua in se allora esiste un punto tale che 0.

Weierstrass

Weierstrass: [, ] → ℝ Sia continua, allora ha massimo e minimo.

Teorema dei valori intermedi

Teorema dei valori intermedi ⊂ ℝ, : → ℝ () Sia continua, allora è un intervallo. Se assume i valori e , allora! " assume tutti i valori compresi tra e .! "

Limiti

Permanenza del segno

Permanenza del segno ∗ ⊂ ℝ, : → ℝ, ∈ (). lim () = ∈ ℝ ≠ 0, Sia Se esiste e allora esiste un intorno# $→$ ! ∈ ∩ { } .di tale che se allora ha lo stesso segno di# # #

Confronto

Confronto ⊂ ℝ, , : → ℝ, ∈ (). lim () = lim () = Sia Se esistono e e se esiste un# ! "$→$ $→$! ! ∈ ∩ { }, () ≤ (), ≤ intorno di tale che allora posso concludere che .# # ! "

Carabinieri

Carabinieri ⊂ ℝ, , , ℎ: → ℝ, ∈ (). lim () = lim ℎ() = Sia Se esistono e e se esiste un# $→$ $→$! ! ∈ ∩ \ { }, () ≤ () ≤ ℎ(), intorno di tale che allora posso concludere che# # lim () = .$→$ !

Somma e prodotto

Somma e prodotto ⊂ ℝ, , : → ℝ, ∈ (). lim () = lim () = Sia Se esistono e .# ! "$→$ $→$! !

• + lim () + () = + Se ha senso , allora ;! " ! "$→$ !
• ∗ lim () ∗ () = ∗ Se ha senso , allora .! " ! "$→$ !

Limitatezza

Limitatezza ⊂ ℝ, : → ℝ, ∈ (). lim () = ∈ ℝ, Sia Se esiste allora è limitata in un intorno# $→$ ! |()| ∈ ℝ, > 0 ∈ ∩ , ≤ .di ed esiste tale che se allora#

Valore assoluto

Valore assoluto |() |: → ℝ. lim = 0, lim () = 0.Sia Se allora anche$→$ $→$! !

Composizione di funzioni

Composizione di funzioni, ⊂ ℝ, : → , : → ℝ, ∈ (). lim () = ∈ () Siano Se esiste e e# # #$→$ !∗ lim () = ∈ ℝ e se è verificata almeno una delle seguenti ipotesi:'→'!

• ∈ e è continua in ;# #
• ∈ ∩ \ { }, () ≠ esiste un intorno di tale che allora# # #( (

lim ∘ )() = . lim ∘ )() = lim ().allora Cioè$→$ $→$ '→'! ! !

Weierstrass

Weierstrass, ∈ ℝ, : (, ) → ℝ lim () = lim () = Sia continua tale che esiste ed esiste , allora:! "$→( $→)

• ≠ −∞ = −∞;è limitata inferiormente se e solo se e! "
• ≠ +∞ = +∞;è limitata superiormente se e solo se e! "
• ∈ ℝ ∈ ℝ;è limitata se e solo se e! "
• ) ) ∈ (, ) ( ≤ min( , ;ha minimo se e solo se esiste tale che# # ! "
• ) ). ∈ (, ) ( ≥ max( , ha massimo se e solo se esiste tale che! ! ! "

Derivate

Derivabilità e continuità

Derivabilità e continuità Se è derivabile in , allora è continua in . Di conseguenza se una funzione non è continua,# # allora non è derivabile. *) ( )( ) ) () = ( + − + ( − → è derivabile in se e solo se per .# # # # # #),($ .+)0,($! ! lim

La derivata di è , se il limite esiste ed è finito. Per scoprire se una funzione è++→# lim ′().derivabile in prima calcolo Se questo limite non esiste allora calcolo il rapporto# $→$ !,($)0,($ )!lim incrementale, ovvero e questo limite è la derivata di in . è derivabile in se# #$0$$→$ !!.* 0*( ) ( ). = e solo se # #

Esistenza della derivata

Esistenza della derivata ) ⊂ ℝ, ∈ (), : → ℝ. () = ( + Sia è derivabile in se e solo se# # #* ( )( ) − + ( − ).# # #

Somma e prodotto

Somma e prodotto ⊂ ℝ, ∈ (), , : → ℝ Sia derivabili in . Allora:# #* *

• ( ( ) ( ) + + ) = + ′( );è derivabile in e# # # #* *
• ( ( ) ( )( ∗ ∗ ) = ) + ( )′( );è derivabile in e# # # # # #* ")! ! ,($
• !) ( )( ≠ 0, T U = −Se allora è derivabile in e .# # # #), , ,($ !

Funzione inversa

Funzione inversa * ( ), ∈ ℝ, : (, ) → ℝ ≠ Sia continua e strettamente monotona. Se è derivabile in e# #!0! 0! * 0!( ) ( )0, = ( ) = = ( )′( ),allora è derivabile in e . Ricordando che# # # # #" ($ ), !!0! *( ) ( ) = la posso scrivere come .# " $%(, )), ('!

Funzione composta

Funzione composta, ⊂ ℝ, : → , : → ℝ, ∈ () ∩ = ( ) ∈ () ∩ . Sia e Se è# # #)*($ *( )W ∘ ) = V( ∗ ′( ).! derivabile in e è derivabile in , allora# # # #

Fermat

Fermat ⊂ ℝ, : → ℝ, ∈ (). Sia Se è un punto di massimo o minimo locale, allora è# #* ( ) = 0. derivabile