Teorema di esistenza degli zeri

Teorema di esistenza degli zeri

Enunciato

Se f(x) è una funzione continua in un intervallo [a, b]. Se f(a)0, allora esiste x∈(a, b) tale che f(x)=0.

Ovviamente, tale tesi vale anche se f(a)>0 e f(b) 0, f(c).

Dimostrazione mediante il metodo di bisezione

In generale, abbiamo:

• Se f(c) > 0 ⇒ a₁ = a, b₁ = c
• Se f(c) 1 = c, b₁ = b

Abbiamo così trovato un intervallo [a₁, b₁], di ampiezza metà del precedente [a, b], per cui risulta f(a₁) 1) > 0.

Adesso eseguiamo la medesima operazione su [a₁, b₁], avremo quindi c₁ = _{a1 + b1}/² e ripetiamo il ragionamento.

Teorema di esistenza degli zeri

Enunciato

Se f(x) è una funzione continua in un intervallo [a, b]. Se f(a) < 0, f(b) > 0, allora esiste x₀ ∈ (a, b) tale che f(x₀) = 0.

Ovviamente, il teorema vale anche se f(a) > 0 e f(b) < 0, cioè il teorema di esistenza degli zeri vale solo supponendo che f(a) ed f(b) siano di segno discordo.

Dimostrazione del teorema mediante il metodo di bisezione

Consideriamo un punto c, punto di mezzo dell'intervallo [a, b], cioè c = (a+b)/2.

Se f(c) = 0 abbiamo trovato una radice (soluzione dell'equazione).

Altrimenti consideriamo i 2 casi: f(c) > 0, f(c) < 0.

• Se f(c) > 0 ⇒ ₁ = a, ₁ = c
• Se f(c) < 0 ⇒ ₁ = c, ₁ = b

Abbiamo così trovato un intervallo [₁, ₁], di ampiezza metà del precedente [a, b], per cui risulta f(₁) < 0, f(₁) > 0.

Adesso eseguiamo la medesima operazione su [₁, ₁], avremo quindi ₁ = ₁+₁ / 2 e ripetiamo il ragionamento.