Teorema degli zeri, di Weirstrass

Teorema degli zeri

⇒ trovo dove f(x) è 0

Enunciato

f : [a, b] → ℝ

a, b ∈ ℝ

f continua in ogni punto dell'intervallo [a, b]

f(a)f(b)

Si usa per equazioni ⇒ con quelle di 2° uso il delta ma per quelli di grado maggiore?

f(x) = 0

Dimostrazione costruttiva ⇒ fornisce tecnico per calcolare lo zero

Senza formula del Δ

Metodo di bisezione ⇒ per risolvere Teorema

Dimostrazione

Passo 0: ho intervallo [a, b]

a₀ = a₀

c = a₀ + b₀ / 2

b₀ = b₀

b - c = c - a = b - a / 2

f(c) = 0

f(c) ≠ 0 se confronto con f(c) {f(c)f(a) f(c)f(b) se f(a)f(b) se f(a) > 0 ⇔ f(b) f(c) ≠ 0

Vado al passo 1

Applico passo 0 all'intervallo più piccolo a c

a₁ = a c

b₁ = b₀

b₁ - a₁ = b - a / 2

a ≤ a₁ ≤ b₁ ≤ b

f(a₁)f(b₁)

Teorema degli zeri

Enunciato

f: [a, b] → ℝ

a, b ∈ ℝ

f continua in ogni punto dell'intervallo [a, b]

f(a)f(b)

Si usa per equazioni ⇒ con quelle di 2° uso il delta ma per quelli di grado maggiore?

f(x) = 0

Dimostrazione costruttiva ⇒ fornisce tecnico per calcolare lo zero

Metodo di bisezione ⇒ per risolvere Teorema

Dimostrazione

Passo 0: ho intervallo [a, b]

a₀ = a₀

b₀ = b₀

c = a + b/2

b - c = c - a = b - a/2

p(c) = 0

Ho finito → Funzione nel f(c) ≠ 0 se confronto con se f(a) > 0

f(b) f(a) f(b) > 0

Se trovo per esemp. f(c)f(a)

a ≤ a₁ ≤ b₁ ≤ b

f(a₁)f(b₁)

c₁ = a₁ + b₁ / 2

c₁ - a₁ = c₁ - b₁ = b₁ - a₁ / 2 = b - a / 2²

f(c₁) = 0

f(c₁) ≠ 0

f(a₁) f(c₁) < 0

f(b₁) f(c₁) < 0

Passo 2

Considero un nuovo intervallo

a < a₁ < a₂ ≤ b₂ ≤ b₁ ≤ b

[a₂, b₂] ⊆ [a₁, b₁] ⊆ [a, b]

b₂ - a₂ = b₁ - a₁ / 2 = b - a / 2²

f(a₂) f(b₂) < 0

Passo n

[a_n, b_n] ⊆ [a_n-1, b_n-1] ⊆ ... ⊆ [a, b]

a < a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n - a_n-1 ≤ b_n ≤ b_n-1 ≤ ... ≤ b₁ ≤ b

b_n - a_n = b_n-1 - a_n-1 / 2 = b - a / 2ⁿ

f(a_n) f(b_n) < 0

(lim b_n - a_n) → 0

{a_n ↑} {b_n ↓} limitate

a ≤ b_n ≤ b

a ≤ a_n ≤ b

(lim a_n) = sup a_n ϵ ℝ

(lim b_n) = inf b_n ϵ ℝ

0 = lim b_n – a_n = A – B

A = B = ξ

Poiché so che f è continua e a_n → x₀ so che → (lim f(a_n) = f(x₀)

b_n → x₀ ⇒ lim f(b_n) = f(x₀)

f continua in x₀

f(a_n) f(b_n) n) f(b_n) = f(x₀)² 0) = 0

Limite del prodotto = algebra dei limiti se non ho forma indetermi.

(Intervallo chiuso e limitato

f : [a, b] → IR ⇒ ipotesi fondamentale

f continua in [a, b]

f(a)f(b)

[a, b] f(a)(b) devono essere numeri che appartengono al mio insieme di def.

Supponiamo che non so se f è continua in [a, b] ⇒ quindi potrebbe non esistere x₀ : f(x₀) = 0, il punto x₀ in cui f si annulli

Nota ed esempi

È una funzione che cade ipotesi della continuità:

L’ipotesi di continuità è importante sia all’interno, che sul bordo dell’intervallo

Se f : (a, b) → ℝ

p.b la continuità la uso nell'intervallo aperto

Suppongo f continuo in [a, b[

Suppongo: (lim_x→a f(x)) (lim_x→b f(x)) < 0

⇒ ∃ x₀ f(x₀) = 0

lim_x→a f(x) = l_a

lim_x→b f(x) = l_b

l_a, l_b ≠ 0

l_a · l_b < 0

Supponiamo l_a > 0

l_b < 0

Questi valori diversi da 0 mi dicono per dedekind che:

∃ ε > 0 l_a - ε > 0 2 ε + δ

Applico def. di limite ⇒ ∃ I(a): ∀ x ∈ I(a) : f(x) ∈ ]l_a - ε, l_a + ε[ f(x) > l_a - ε > 0

x ∈ I(a) = [σ, a + δ[

I(sinistra) = ]b - δ_b, b[

∀ x ∈ ]b - δ_c, b[ f(x) ∈ ]l_b - ε, l_b + ε[

x = b - δ_b / 2

f(b - δ_b / 2) < l_b + ε < 0

Esercizio lim_x→a Hp 3 ⇒ lim_x→a f(x) = +∞

lim_x→b f(x) = -∞

Eserc. lim_x→a f(x) = +∞

lim_x→b f(x) = l_b < 0

Eserc. 3 uso def. limiti con gli intorni

Teorema di Weierstrass

f: [a, b]→ℝ

f continuo

∃ massimo e minimo assoluto

∃ M, m ∈ ℝ ∋ xₘ₁, xᴹᵥ ∈ [a, b]: f(xₘ₁) = ℓ_M = max f(x) x ∈ [a, b]

f(xₘ₁) = ℓ = f(xₘ_ᵥ) = ℓ

m = inf f(x) x ∈ [a, b]

∀x ∈ ℝ

Xₘ₁ = punto di minimo assoluto

Xᴹᵥ = punto di massimo assoluto

Sono necessarie queste ipotesi? Sì, senza di esse il teorema non vale

Nota

f: [a, b[→ℝ

f(b) non lo posso calcolare

Non ammette massimo e non è limitata ma è continua

f: [a, b]→ℝ ma non è continua

E non ha massimo poiché nessun punto tocco 1 o -1

inf f: -1 < f(x) < 1 = sup f

∄xₘ₁, x_ᵴ: f(xₘ₁) = -1 f(x_ᵴ) = 1

Teorema dei valori intermedi

Funzione se è continua assume valori tra il suo minimo e il suo massimo

f: [a, b]→ℝ

f continua in [a, b]

∀t ∈ [m, Å] ∃ x