Teorema dei seni e teorema del coseno

Trigonometria: teorema dei seni e teorema del coseno

Chiunque abbia frequentato un corso di geometria sa che per determinare un triangolo occorre un minimo di informazioni sul triangolo. Si possono avere i seguenti casi:

• LLL: sono noti i tre lati.
• ALA: sono noti due angoli e il lato adiacente.
• LAL: sono noti due lati e l'angolo tra essi compreso.
• AAL: sono noti 2 angoli e un lato non adiacente ad essi.
• IC: sono noti l'ipotenusa e un cateto in un triangolo rettangolo.

Se sono noti 2 lati e un angolo non compreso (LLA), l'informazione per determinare non è sufficiente un unico triangolo.

La Legge dei Coseni è un teorema che possiamo usare per determinare elementi incogniti di un triangolo nei seguenti casi: LLL, LAL, IC.

Analogamente, il teorema dei seni può essere usato nei seguenti casi: ALA, AAL, IC.

2² 2² 2² . . .

2 b c cos

a b c A

Teorema del coseno: sin A sin B sin C

Teorema dei seni: a b c

caso LLL

Nel caso LLL trovare gli angoli A, B e C.

.

a 38 cm

.

b 41 cm

.

c 44 cm

Poiché

2² 2² 2² . . .

2 b c cos

a b c A 2² 2² 2²

1 a b c

.

π

A acos

risolvendo rispetto A otteniamo .

2 b c

A = 52.967 deg

2² 2² 2² . . .

2 a c cos

b a c B

Poiché

risolvendo rispetto a B otteniamo

2² 2² 2²

1 b a c

.

π

B acos .

2 a c

59.464 deg

B =

Infine .

C 180 deg A B

67.568 deg

C =

Origine di π nei risultati

Da dove viene π nei risultati ottenuti per A e B?

Se risolviamo l'equazione seguente rispetto al coseno di A e non rispetto all'angolo A, otteniamo

2² 2² 2² . . .

2 b c Cos

a b c A

che ha come soluzione

2² 2² 2²

1 a b c

. .

2 b c

La differenza, consiste nell'applicare la funzione a ciascun membro. Un processore simbolico usa

acos

l'identità acos(–x) = π – acos(x) e restituisce la rappresentazione preferita della soluzione:

2² 2² 2²

1 a b c

.

acos cos A acos .

2 b c

Da cui si ricava 2² 2² 2²

1 a b c

.

π

A acos .

2 b c

Caso LAL

Nel caso LAL trovare la lunghezza dell'altro lato e degli altri angoli.

.

b 7 cm

.

c 11 cm

.

A 25 deg

Poiché

2² 2² 2² . . .

2 b c cos

a b c A

risolvendo rispetto ad otteniamo

a

1 2² 2²

. . . . . .

4 b 4 c 8 b c cos A

2

a 1 2² 2²

. . . . .

. 4 b 4 c 8 b c cos A

2

(Solo il valore positivo è accettabile perché il lato di un triangolo non può essere negativo)

5.516 cm

a = 5.516

a a

1

a = 5.516 cm

Poiché

2² 2² 2² . . .

2 a c cos

b a c B