Teorema di Carnot (1)

Ipotesi e tesi

Ipotesi: ABC triangolo qualunque.

α

c b a² = b² + c² – 2bc · cosα

Tesi: b² = a² + c² – 2ac · cosβ

c² = b² + a² – 2ab · cosγ

B β γ C

a

a = b · cosγ + c · cosβ a² = ab · cosγ + ac · cosβ

b = a · cosγ + c · cosα -b² = -ab · cosγ - bc · cosα

c = a · cosβ + b · cosα -c² = -ac · cosβ - bc · cosα

Sommiamo a membro a membro le 3 relazioni:

a² - b² - c² = ab · cosγ + ac · cosβ - ab · cosγ - bc · cosα - ac · cosβ - bc · cosα

a² - b² - c² = -2bc · cosα

a² = b² + c² - 2bc · cosα

Per l’altro lato moltiplicheremo a · (-a) e c · (-c).

a = b · cosγ + c · cosβ -a² = -ab · cosγ - ac · cosβ

b = a · cosγ + c · cosα b² = ab · cosγ + bc · cosα

c = a · cosβ + b · cosα -c² = -ac · cosβ - bc · cosα

-a² + b² - c² = -ab · cosγ - ac · cosβ + ab · cosγ + bc · cosα - ac · cosβ - bc · cosα

-a² + b² - c² = -2ac · cosβ

b² = a² + c² - 2ac · cosβ