Trigonometria - Introduzione

Funzioni goniometriche e basi di trigonometria

April 23, 2010

Ci siamo accorti nello studio di situazioni fisiche e matematiche come la figura piana del triangolo sia la base per costruire qualsiasi altro poligono regolare o meno (poligono si intende figure piane geometriche aventi lati finiti, dove indica il numero di lati. Chiaramente è un numero naturale finito (1, 2, 3, 4, ...) maggiore o uguale a 3. Non esiste infatti una figura piana delimitata da due lati soltanto (questa figura la chiamiamo degenere)).

In particolare si è visto come un qualsiasi triangolo possa essere diviso in una o più aree delimitate da triangoli rettangoli.

Per esempio prendiamo un triangolo scaleno (il meno regolare), semplicemente tracciando un’altezza (per comodità la tracciamo interna al triangolo) abbiamo che questo viene diviso in due triangoli rettangoli aventi un lato e un angolo comune al triangolo di partenza.

Come sappiamo un triangolo rettangolo gode di alcune proprietà molto comode, ad esempio una di queste è data dal teorema di Pitagora, che dice, (chiamando I l’ipotenusa, C1 un cateto e C2 l’altro cateto):

I² = C1² + C2²

Ossia che il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. (Questo teorema è valido solamente per i triangoli rettangoli).

Però nello studio della geometria si è vista la necessità di dover calcolare anche angoli di questi triangoli. Per prima cosa disegniamo un triangolo rettangolo su cui poter lavorare.

A questo punto sarebbe interessante conoscere gli angoli A. A tal scopo si introducono i a, b, c.

rapporti:

BC, AB, BC.

AC, AC, AB.

Adesso dobbiamo dimostrare che per qualsiasi triangolo rettangolo avente come angoli interni quel rapporto è costante.

a, b, c,

Dimostrazione

Prendiamo due triangoli rettangoli aventi angoli interni uguali fra loro (a, ecc.) con avendo indicato con ABC il primo triangolo e, A’B’C’, il secondo triangolo.

Avremo che essendo gli angoli interni congruenti fra loro, i due triangoli sono simili. Per definizione di similitudine di due triangoli avremo che i loro lati sono proporzionali ossia:

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