Tecnica delle Costruzioni - Rigidezza alla rotazione delle strutture

Rigidezza alla rotazione

Definizione: la rigidezza alla rotazione di un’asta AB, vincolata in A e in B, è la coppia che è necessario applicare per provocare in A una rotazione unitaria. Si chiama W_AB [N·m]

Ψ_A - 1

W_AB = ? Calcolo Ψ e lo pongo pari a 1.

Risolvere la struttura

W_AB

P_LV

Ψ_A = ∫₀^l (W_AB/EJ) dz = W_ABl/EJ

Rigidezza alla rotazione

Definizione: La rigidezza alla rotazione di un’asta AB, vincolata in A e in B, è la coppia che è necessario applicare per provocare in A una rotazione unitaria. Si chiama W_AB [N∙m]

W_AB = ? Calcolo ψ e lo pongo pari a 1.

Risolvere la struttura

ψ_A = ∫₀^l (W_AB / E₃) dz = W_ABl / E₃

φ_A = 1 ⇒ W_AB = _[] [.]

Concetti

R; t = 1, φ; M = φ • k;

1. W_AB

M(z)

PLV

φ_A = ∫₀^L 1/ (W_AB/_L) (z/_L) = ∫₀^L 1/ W_AB/L² z² = = W_ABL/₃

φ₁ = 1 ⇒ W_AB = 3E₅^-3R

Conclusione

W_AB = 3R; t = 0; M = φ • k;

φ_B = ?

P_Lv: φ_B = ∫₀^L ( W_AB L / z ) ( 1 - z L ) = ∫₀^L W_AB z- W_AB z² / L²) = W_AB z² / 2L - W_AB z³ / 3L² == W_AB L / E₅₆ ; * 1

W_AB = ?

• PLV: φ_a = ∫^L/2 ₀ W_ABZ / E5

Concetti

2R;

Risolvere la struttura

η₁₀ + η₁₁ X = 0

η₁₀ = ∫^L ₀ W_AB Z / E5 = W_ABL² / 2E5

η₁₁ = ∫₀^{L Z2}⁄_E5 - ^Z3⁄_3E5X - η₁₀⁄η₁₁ = -_WABL²⁄^2E₅ - ^3E₅⁄_L³ = -³⁄₂ W_AB⁄L

M_(B) = W_AB - ³⁄₂ W_AB⁄L L + M_B = 0-W_AB⁄2 + M_B = 0

M_(z)

t = -1⁄2

P_LV: φ_A = ∫₀^l (W_AB - ³⁄₂ W_AB⁄L z) (1 - ³⁄₂ z⁄L) = =₀^L1/E_S(W_AB - 3/2 W_ABz/L - 3/2 W_ABz/L + 9/4 W_ABz²/L²) ==₀^L1/E_S(W_AB - 3 W_ABz/L + 9/4 W_ABz²/L²) ==₀^L/W_ABz - 3/2 W_ABz²/L + W_AB/L²z³/4 ==1/E_S W_ABL (1 - 3/2 + 3/4)

4 - 6 + 3/4 = 1/4

W_AB = 4R ;

PLV: ∫₀^L (W_AB z / L) (z / E_SL) + 1 / L . W_AB L / L / KF = K · u

Conclusione

W_AB = (1 / 3R + 1 / KL²)^-1

Se k = ∞ W_AB = 3R

Se k = 0 W_AB = ∞

Strutture complesse

Grazie alla rigidezza alla rotazione, possiamo risolvere le strutture più complesse.

A 100%123

1. La rigidezza delle 3 aste è nota. A, per come sono disposti i vincoli e trascurando la deformazione assiale, ruota soltanto;
2. Quanto, di m_i, va sulle aste?

m₁

m₂

m₃

Finché non li conosco, non posso risolvere la trave!

φ₁ = M₁ / W₁ ; φ₂ = M₂ / W₂ ; φ₃ = M₃ / W₃ ;

Per congruenza: φ₁ = φ₂ = φ₃ = φ_A ;

M_i = φ_i W_i

∑M_i = ∑φ_i W_i

∑M_i = φ ∑W_i → φ = ∑M_i / ∑W_i = M / ∑W_i

┌ ─ → M_i = M W_i / ∑W_i ─┌

Dove: W_i / ∑W_i = ρ_i coefficiente di ripartizione.

Conclusione: M va maggiormente sulle aste più rigide.

Studio della metà

Dall’analisi della struttura si deduce che essa può solo ruotare.

Nodo C: W = 3R

Nodo B: W = 4R

Nodo A: W = 2R

Oppure:

L/2

Tramite la rigidezza, si può tracciare il diagramma dei momenti:

ϑ_k = M / ∑W_i = M / 13 R

LE_s

M_CK = M / 13

Il segno dipende poi da come gira M(z) rispetto alle aste;

E_s noto M(z), conosco V(z).

Es: trave inflessa

Fine

1) Stancata, per come sono vincolati, i 2 nodi possono traslare.

E se possono traslare, non posso più dire niente sulla rigidezza delle aste!

2) Per le aste orizzontali non ci sono problemi perché la traslazione è orizzontale (e dunque, non si sommano a ψ(z).

W_AB = 4R; W_AB = 3R;

3) Sull’asta verticale posso avere T(z) dunque, una T(z) che lo fa traslare orizzontalmente;

Ma riflettendo sull’altimetria, ci si accorge che T ∅

T = ∅

N_t invece, si può trascurare ⇒ c’è solo M(z);

Dunque si può procedere come sempre;

4) W = R

È come se non ci fosse più alcun vincolo

5) «Diagramma dei momenti»:

6) Deformata:

La mensola ha curvature:

No! E non ha non che flesso.