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Sviluppare in serie binomiale la funzione

f(x) = 1/(1 - x2)1/2,  |x| < 1.

Soluzione

Si ha

1/(1 - x2)1/2 = (1 - x2)-1/2 = ∑ n=0 ( -1/2 choose n)(-x2)n = 1 - 1/2(-x2) + ((-1/2)(-3/2)/2!)(-x2)2 + ... =

= 1 + 1/2x2 + 3/8x4 + ...

Osserviamo che, posto g(x) = arcsin x, allora risulta f(x) = g'(x); da ciò segue lo sviluppo della funzione arcsin x ottenuto integrando termine a termine lo sviluppo dato, da cui

arcsin x = x + 1/6x3 + 3/40x5 + ...,  |x| < 1.

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Serie: Sviluppare in serie binomiale (i primi termini) la funzione [math] f{{\left({x}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{{{1}-{x}^{2}}}}[/math] Pag. 1
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Sintesi

[math] f{{\left({x}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{{{1}-{x}^{2}}}},{\left|{x}\right|}<{0}[/math]

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