Superfici, Analisi matematica II

Superficie z = f(x,y)

Def: φ: D→R³ D⊂R, A⊂D⊂Ā; A aperto ⊂ R² φ∈C¹(Ā), invertibile A φ(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) ∈ (u,v) rg ( ⎡ ∂x/∂u ∂x/∂v ⎤ ) = 2       ( ⎣ ∂z/∂u ∂z/∂v ⎦ )

φ si dice superficie regolare parametrica.

γ: [u, b] → R² γ(t) ∈ C¹ ∀ T(t) = γ'(t) γ' è regolare.

Richiedere che il rango ||γ'(t)|| della matrice sia 2 è equivalente a dire:

φ_u= (x_u, y_u, z_u) φ_v=(x_v, y_v, z_v)

φ_u x φ_v ≠ 0

Esempi

• Superficie cartesiane z=f(x,y) ∈ C'

φ(u,v) = (u,v, f(u,v))

φ_u = (1,0,f_u) φ_v = (0,1,f_v)

      ( ⎡ 1 0 ⎤ ) rg ( ⎢ 0 1 ⎥ ) = 2       ( ⎣ f_u f_v ⎦ )

Superficie z = f(x, y)

Def: φ : D → R³ D ⊂ R², A ⊂ D ⊂ A̅ ; A aperto ⊂ R² φ ∈ C_l(A), invertibile A̅ φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

reg: det ^{| ∂x/∂u ∂x/∂v |} = 2_{| ∂y/∂u ∂y/∂v |}

φ si dice superficie regolare parametrica.

γ : [u, b] → R² γ(u) ∈ C¹ ∃ T(u) = γ'(u) γ' è regolare.

Richiedere che il rango |γ'(t)| della matrice sia 2 equivale a dire:

φ_u = (x_u, y_u, z_u) φ_v = (x_v, y_v, z_v)

φ_u x φ_v ≠ 0

Esempi

1. Superficie cartesiane z = f(x, y) ∈ C'

φ(u, v) = (u, v, f(u, v))

φ_u = (1, 0, f_u) φ_v = (0, 1, f_v)

rg ^{|1 0|} = 2_{|0 1|}

f_uu f_uv

D: (u,v) ∈ ℝ² : u² + v² ∈ ℝ , φ(u,v) = (u,v,√π²-u²-v²)

X = u

Y = √π²-u²-v²

z = √π²-u²-v²

π² = π - x² - y² ->0 ≤ x² + y² ≤ π , λ ≥ 06

z = π

x = πsenφcosα

y = rsenφsenα

Φp (πcospcosα, πcospcos , -πsenφ)

Φσ (-πsenφsenα , rsenφcosa , 0)

Φp x Φσ = π² rsenφcosa π²senφsenα π² senφcosa

[Φp x Φσ] = π² senφ √senφ (cosα² + sen²α) +cosα-π² senφ >0

Φ ∈ [0,π]

σ ∈ [0,π]

Parametrizzazione stereografica

x² + y² + (z - π)² = π²

γ(t) = (tx, ty, 2π - t(2π - z))

Q = (x_Q, y_Q, 0)

2π - ξ(2π - z) = 0

t = 2πz / 2π - z

Q = (2πx / 2π - z, 2πy / 2π - z, 0)

μ = 2πx / 2π - z

ν = 2πy / 2π - z

x = (2 - ξ/π)u

y = (1 - ξ/π)v

(2 - ξ/π)²(u² + v²) + z² - 2πz = 0;

(1 - ξ/π + z₂/u²)(μ² + ν²) + z² - 2πz = 0;

r₁₂ = π[ln π + 2(μ + ν₂)] + √(ln²[2Q₂(μ² + ν²)]² - 4π₂(μ² + ν²)(μ² + ν² + ln²))

r₁₁₂ = [ln π² + (μ + ν₂) + 2π√(ln² + 4π² - (lQ²₁₂)

Z = 2R ^(u2+v2) / (u²+1+v²)

X = ^u2u / (u²+u²+v²)

Y = ^u2v / (u²+u²+v²)

Z = ^2R(u2+v2) / (u²+u²+v²)

Superficie di rotazione

ϕ(t) {X = X(t) cosα

q = X(t) sinα

Z = Z(t)

t ∈ [a, b]

α ∈ [0, π]

Area di una superficie (S/π)

x = Rsenϕ cosθ

y = Rsenϕ sinθ

z = Rcosϕ

(ϕ, θ) ∈ [0, T] × [0, 2π]

{X(y,z): x²+y²+z² = R²}

N = 1/R(X, y, z) \

Area(S) = ∫∫|φ_u × φ_v|dudv

φ: D ⊂ R²→R³

|φ_ϕ × φ_θ| = R²senϕ

D = [0, T] × [0, 2π]

Area(S) = ∫₀^π dϕ∫₀^2π R²senϕdθ = R²π∫₀^π senϕdϕ = 2πR²(1-cosϕ)₀^π = 4πR²

Se S è cartesiano:

Area(S) = ∫_D√1+∇f|²u(x,y)

S: = { (x,y,z) : z = f(x,y); (x,y)εD

Se S è di rotazione:

Γ: [a,b]→ℝ²

γ(t)=(x(t),z(t))

θt=(xcosθ, xsenθ, z)

uθ= (-xsenθ, xcosθ, 0)

φt×uθ= (-x²tcosθ-xz²senθ, xx')¹

Area(S) = ∫_A∫_D|x(t)||γ(t)| dt dφ = 2π ∫_a^g|x(t)||γ'

Orientabilità

Non tutte le superfici sono orientabili! (quello di Möbius)

F campo vettoriale.

Il flusso di F attraverso S è dato da:

Φ(F,S) = ∬ₛ F . m dS

dove ∬ₛ F dS = |ϕᵤ x ϕᵥ| du dv

dove S : ϕ : D → ℝ³

F ∈ C¹(ℝ³)

versore normale = ϕᵤ x ϕᵥ / ||ϕᵤ x ϕᵥ||

Quindi se F = F_T ^C(n)

Φ(F,S) = ∬_D F(ϕ(u,v)) . ϕᵤ x ϕᵥ / ||ϕᵤ x ϕᵥ|| . ||ϕᵤ x ϕᵥ|| du dv = ∬_D F(ϕ(u,v)) . ϕᵤ x ϕᵥ du dv

Flusso di un campo

E = Kq n_r³ = Rq ^X⁄_{(x² + y² + z²)^3/2} 4^Y⁄_{(x² + y² + z²)^1/2} 1^Z⁄_{(x² + y² + z²)^1/2}

r = (X, Y, Z) r è un modulo.

S = Sfera di raggio R centrato nell'origine.

E|_s = Kq ^{(X, Y, Z)}⁄_R²

E ⋅ n_s = Kq ^{(X, Y, Z)(X, Y, Z)}⁄_R³ = Kq ¹⁄_R² ⋅ R² = ^Kq ⁄_1R²

Φ(E, S) = Kq ⁄R² ∫∫ ds = Kq 4πR²

Teorema della divergenza

∬(∂F_X + ∂F_Y)dxdy - ∮Fdy - ∮Fdx

∫∫∫∂F_Xdxdy dz = ∫∮F ⋅ neds

Dato F : ℝ³ → ℝ³ div F = ∇F = ∂_XF₁ + ∂_YF₂ + ∂_ZF₃

Dato F : D ⊂ ℝ³ - ℝ³, F ∈ C¹(D) ∂D - Orientato

Equazione di Poisson

∫∫∫_D ρ dx dy dz = 4π Rq = (∫_00' F. meds = ∫∫∫_D div F dx dy dz

ρ è la densità di carica = D

∫∫∫_D (div F − 4π R S) dx dy dz = 0 ⇒[ div F = 4π k ρ ] ; F = ∇ V ; div ∇ V = 4π k ρ ; Vxx + Vyy + Vzz = Δ V (Laplaceano)

Δ V = 4π n ρ n = R cost

Formule di Gauss-Green

Def: D è un dominio normale regolare x le funzioni che lo delimitano sono C¹.

D è detto dominio regolare se D = ∪_i=1 D_i

Di dominio normale regolari.

∂D: La frontiera di D è percorso positivamente se è percorso in senso antiorario, avcio lasciando D sempre a sinistra.

Teorema: Sia D un dominio regolare e F ∈ C¹(D) = 0

∫∫_D F dx dy - ∫_∂D F dq - ∫∫∫_∂d q dx dy = ∫_00* F dx

w₂ = ∫ f(x,y) dy , w₂ = ∫ f(x,y) dx

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx

Dimostrazione

Dm: Suppongo D normale rispetto a tutti e 2 gli assi.

D = { (x,y) : a ≤ x ≤ b ; α(x) ≤ y ≤ β(x) }

∬_D f(x,y) dx dy = ∫_a^b dx ∫_α(x)^β(x) f(x,y) dy = ∫_a^b [ f(x,β(x)) - f(x,α(x)) ] dx

∮_D⁺ = γ₁ ⊕ γ₂ ⊕ γ₃ ⊕ γ₄

-∫ f(x,y) dx = ∫ -f(x(ε), y(ε)) x'(ε) dε => -∫ -f(x,y) dx = ∫ f(x,y) dx = 0 => 0

∫_γ -∫ f(x,y) dx = -∫ f(x,y) dx + ∫ -∫ f(x,y) dx == ∫ f(t, β(ε)) - f(t, α(ε)) dtx'(ε) = 0

γ₁(ε) = (ε, α(ε))

ε ∈ [a,b]

γ₃ = (ε, β(ε))

ε ∈ [b,a]

Corollario 2

F(x,y) = x

Area D = ∫_OD⁺ q dx

Corollario 2

Teorema della divergenza.

T(t) = (^x⁄_√x²+y², ^-y⁄_√x²+y²), N(t) = (^-yt⁄_√x²+y², ^x'⁄_√x²+y²)

Se F = (F₁, F₂) è C¹ su D => ∫∫ div F dx dy = ∮ F ⋅ N ds_OD

F(t) = (T_xF₁ + T_yF₂) (Φ_xD_y) (F₁F₂)

Corollario 3

Teorema su chiuso in D semplicemente connesso to entro.

Dim che ∫ w so ∀ chiuso, poiché D è com connesso.

γ = ∂A⁺ A ⊂ DI ∫∫ w = w̅ = ∫_∂A⁺(α(x,y) dx + ∫_∂A⁺ g(x,y) dy), Risolv α(x,y) = a(x,y) nella secondo b(x) dx = ∫ a(x,y) dx

⇒ ∮_γ W = ∫(βx (x,y) dx + γ( (x,y) dy = w̅ e div α = 0