Sulle medie di due e di n numeri

Sulle medie di due e di n numeri

di Guido Carolla 1

Sunto

Dapprima si espone un teorema sui medi di due numeri e si presenta una costruzione grafica per sei medi di due segmenti.

Si introducono i concetti delle medie logaritmica ed antiarmonica, puntualizzando quello della media potenziata dei numeri reali negativi.

Seguono le dimostrazioni sulle disuguaglianze delle medie di n numeri, le connessioni tra queste, alcune osservazioni sulla scelta delle stesse con qualche esempio.

Abstract

First the author presents a theorem about the means of two numbers, as alternated terms of some progressions, and introduces a graphical construction for six types of means between two segments.

Then he formulates the concept of logarithmical and antiarmonical means, defining the powered mean of negative real numbers.

Then he demonstrates the inequalities of the means of n numbers and presents their characteristics and connections pointing out some examples.

1. Medi di due numeri

Premesso che il medio di due termini alternati di una determinata progressione è il numero intermedio per cui i tre termini risultano in progressione omonima; premesso che da ogni coppia di numeri, comunque presi, è sempre possibile trovare un loro medio che con i primi due forma una progressione, alla condizione particolare

( )

+ ∀ ∈ ≠

a R, 1, per le progressioni logaritmiche

i

[ ] ∀ ∈

a R

Carolla, 1999, pag. 39 e alla condizione generale per tutte le altre, abbiamo dimostrato, riportandone solo parzialmente la dimostrazione per brevità di spazio, il seguente

Teorema

Il medio di due termini alternati e di una qualunque progressione è dato da una espressione, funzione dei due termini, che si ottiene sostituendo la ragione, anch’essa funzione degli stessi termini, nella corrispondente formula caratteristica della progressione omonima, espressa in funzione del primo termine e della ragione; cioè si hanno:

a_k = 2 · a_k−1 · a_k+1 / (a_k−1 + a_k+1) medio armonico; (1)

a_k = ±(a_k−1 · a_k+1)^1/2 medio geometrico; (3)

a_k = (a_k−1 + a_k+1)/2 medio aritmetico; (4)

a_k = ±[±a_k−1^r ± a_k+1^r / 2]^1/r medio potenziato r.mo, (5)

A = ±[±a_k−1^r ± a_k+1^r / 2]^1/r

nella quale ponendo

r

a_k−1 = 1, se a_k−1 ≥ 0; −1, se a_k−1 < 0,

segno −

a_k+1 = 1, se a_k+1 ≥ 0; −1, se a_k+1 < 0,

segno +

A^1/r = 1, se A ≥ 0; −1, se A < 0;

a_k = [a_k−1²(c) + a_k+1²(c)] / [a_k−1(c) + a_k+1(c)] medio antiarmonico, (6)

nella quale ultima si indicano con c ∈ R il parametro di complementarità della progressione antiarmonica rispetto alla corrispondente armonica, con i due termini alternati, a_k−1(c), a_k+1(c), con il medio antiarmonico e, essendo il suddetto medio armonico, si ha anche la formula equivalente alla (6), che è:

a_k(c) = c − a_k.

Infatti, per ottenere la formula (1) del medio armonico, dalla ragione

d = a₁ · a_n · (n − 1)/(a_n − a₁)

che per a₁ = a_k−1, n = 3, a_n = a_k+1 diventa

d = 2 · a_k−1 · a_k+1 / (a_k+1 − a_k−1),

dalla formula caratteristica della progressione armonica

a_n−1 = a₁ · d / [d + a₁ · (n − 1)],

che per n = 2 diventa

a_k = a_k−1 · d / (d + a_k−1),

sostituendo in quest’ultima il valore trovato della ragione, dopo semplici passaggi si ha

a_k = 2 · a_k−1 · a_k+1 / (a_k−1 + a_k+1) c.v.d..

I medi logaritmico, geometrico, aritmetico, potenziato r.mo si otterranno analogamente, sostituendo le ragioni

q = ±ln a_k+1 / ln a_k−1, q = ±(a_k+1 / a_k−1)^1/2,

d = ±(a_k+1 − a_k−1) / 2

e

d = ±(a_k+1^r − a_k−1^r) / 2,

rispettivamente nei valori

q = a_k / a_k−1 = a_k+1 / a_k,

a_k = a_k−1 + d

e

a_k^r = a_k−1^r + d.

Per dimostrare la formula (6) del medio antiarmonico, basterà partire dalla relazione fondamentale tra le progressioni antiarmonica ed armonica

c = a_k−1 + a_k+1 = a_k−1(c) + a_k+1(c),

la quale se si pone

a_k−1 = a_k−1(c) e a_k+1 = a_k+1(c)

diventa

c = a_k−1(c) + a_k+1(c),

che se si moltiplica e divide il secondo membro per a_k−1(c) + a_k+1(c), dopo semplici passaggi dà

c − 2 · a_k−1(c) · a_k+1(c) / [a_k−1(c) + a_k+1(c)]

= [a_k−1²(c) + a_k+1²(c)] / [a_k−1(c) + a_k+1(c)],

essendo il primo membro uguale al parametro di complementarietà diminuito del medio armonico, questa differenza è proprio il medio antiarmonico, cioè

a_k(c) = [a_k−1²(c) + a_k+1²(c)] / [a_k−1(c) + a_k+1(c)]

c.v.d..

Costruzione grafica dei medi di due segmenti

Infine, si riporta la costruzione grafica unificata di detti medi di due segmenti nella seguente figura: 3 Fig. 1. Costruzione grafica dei medi di due segmenti.

Dapprima si descriva la circonferenza di centro O, di diametro AB e BC = .

Da C, su quest’ultimo si prendano due segmenti AC = a e BC = b.

Da C, perpendicolarmente al diametro AB, si abbassi la semiretta fino ad incontrare la circonferenza nel punto D e si ha CD (medio geometrico); si congiunga D con O e si ha DO (medio aritmetico); si conduca per C la normale CE a DO e si ha DE (medio armonico); si prolunghi DO fino ad incontrare la circonferenza nel punto F e si ha EF (medio antiarmonico); da O si abbassi la perpendicolare al diametro AB fino ad incontrare la circonferenza nel punto Q, si congiunga C con Q e si ha CQ (medio quadratico).

Ora, considerato il sistema di assi cartesiani XY con origine in A, si faccia in modo che sull’asse delle ascisse X giaccia il diametro AB ed a partire dal punto di ascissa 1 e di ordinata 0 si descriva una parte della curva logaritmica di ordinate positive.

Sull’asse X, ove è già AC = a b, si fissi il punto G in maniera tale che sia AG = .

Da C e G si innalzino le perpendicolari all’asse delle ascisse fino ad incontrare la curva logaritmica rispettivamente nei punti C’ e G’, facendo centro nel punto medio M di GG’ = ln b, si descriva, col compasso e con raggio MG, la semicirconferenza, sul prolungamento del quale giace F.

Sulla semicirconferenza, partendo da C’, si prolunghi in H, punto di detta semicirconferenza, la parallela all’asse delle ascisse; facendo centro in G, con apertura di compasso GH, si riporti su GG’ il punto I dell’arco HI.

A partire da I si riporti la parallela all’asse delle ascisse, fino ad incontrare la curva logaritmica nel punto L, si riporti infine il suo piede di perpendicolare L’ sull’asse delle ascisse e si ha AL’ (medio logaritmico).

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