Formulario di geometria analitica

G. Di Maria Formulario di geometria analitica 1

Formulario di geometria analitica

G. Di Maria 1

Rette

Forme dell’equazione della retta

Forma generale implicita: ax + by + c = 0

Forma ridotta esplicita: y = mx + q

Forma segmentaria: x/p + y/q = 1

Forma normale: x cos φ + y sin φ − n = 0

p, q = lunghezze dei segmenti staccati dalla retta sugli assi

φ = angolo formato dalla normale con l’asse x

n = distanza della retta dall’origine

Angolo tra due rette

Angolo tra due rette r, r′:

tan θ = (m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)

tan θ = −(ab′ − a′b)/(aa′ + bb′)

Condizioni di parallelismo e perpendicolarità

Condizione di parallelismo:

ab′ − a′b = 0

m₁ = m₂

Condizione di perpendicolarità:

aa′ + bb′ = 0

m₁m₂ = −1

Equazioni di rette particolari

Equazione della retta parallela ad r condotta dal punto (x₁, y₁):

a(x − x₁) + b(y − y₁) = 0

y − y₁ = m(x − x₁)

Equazione della retta perpendicolare ad r condotta dal punto (x₁, y₁):

b(x − x₁) − a(y − y₁) = 0

y − y₁ = −(1/m)(x − x₁)

Equazione della retta individuata dai punti (x₁, y₁) e (x₂, y₂):

(y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁)

Allineamento e area

Condizione di allineamento di tre punti:

(y₃ − y₁)/(y₂ − y₁) = (x₃ − x₁)/(x₂ − x₁)

ovvero

det

⎛ x₁ y₁ 1 ⎞

⎜ x₂ y₂ 1 ⎟ = 0

⎝ x₃ y₃ 1 ⎠

Area di un triangolo individuato da tre punti:

A = 1/2 abs det

⎛ x₁ y₁ 1 ⎞

⎜ x₂ y₂ 1 ⎟

⎝ x₃ y₃ 1 ⎠

A = 1/2 |(x₂ − x₁)(y₃ − y₁) − (y₂ − y₁)(x₃ − x₁)|

A = 1/2 |x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁ − y₁x₂ − y₂x₃ − y₃x₁|

Coordinate del baricentro

Coordinate del baricentro di un triangolo:

G ≡ ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)

1 Docente di Matematica presso I.P.I.A. di Miano

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Distanze e punti notevoli

Distanze

Distanza di un punto da una retta:

d = |ax₁ + by₁ + c|/√(a² + b²)

d = |mx₁ − y₁ + q|/√(1 + m²)

Distanza tra due rette parallele:

d = |c − c′|/√(a² + b²)

Distanza tra due punti:

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Punti notevoli

Punto medio di un segmento:

M ≡ ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

Punto che divide un segmento in parti proporzionali ai numeri m ed n:

P ≡ ((nx₁ + mx₂)/(n + m), (ny₁ + my₂)/(n + m))

Asse di un segmento:

(x − x₁)² + (y − y₁)² = (x − x₂)² + (y − y₂)²

Bisettrici di due rette

(a₁x + b₁y + c₁)/√(a₁² + b₁²) = ± (a₂x + b₂y + c₂)/√(a₂² + b₂²)