Sul valore del limite di alcune particolari funzioni

PCUT Sul valore del limite di alcune particolari funzioni

On the value of the limit of some particular functions

di Pasquale Cutolo

In questo studio proviamo a definire il valore del limite di alcune particolari

Sommario

funzioni, utilizzando ripetutamente il primo ed il secondo teorema integrale di Cauchy.

Abstract

In this paper we try to define the value of the limit of some particular functions, using repeatedly the First and the Second Integral Theorem of Cauchy

∫ iz

1.0. e dz

Consideriamo l’integrale , ed applichiamo il 1°

c

teorema integrale di Cauchy lungo una curva chiusa c,

costituita da una semicirconferenza, di raggio R, posta nel

semipiano y≥0, ed avente il centro coincidente con l’origine

degli assi cartesiani, dal tratto rettilineo (-R,R), nonché dalla

ε

semicirconferenza di raggio . Figura 1

Abbiamo, quindi: π

R 0

ϕ ϕ

ϕ ε ϕ

∫ ∫ ∫

i i

ϕ ε ϕ = −

+ + =

ix i Re i i e i i 1

e dx e Re id e e id 0, dove

(1) π

− R 0 ε →

Il 3° integrale del primo membro della (1), tende a 0 per ;

0

il 2° integrale del primo membro della (1) è dato da:

π π π

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

∫ ∫ ∫

i + −

ϕ ϕ ϕ

= =

i Re i iR ( Cos iSin ) i iR cos R sin i

e Re id e Re id e Re id

(2) 0 0 0

ϕ π ϕ → ∞

≤ ≤ ≥

Per , e quindi, per R → ∞, l’ultimo integrale della (2) tende a zero.

0, Sin 0

Pertanto:

lim ∞

∞

R ∫ ∫

∫ iz

iz e dz 2

Cosz

dz

= = = 0, cioè:

e dz

→ ∞ − − ∞

R 0

R ∞

∫ Cosz

dz

(3) = 0

0

1.1.

Ora applichiamo il 1° teorema integrale di Cauchy allo stesso integrale

∫ iz

e dz lungo una curva chiusa c, costituita da un arco di circonferenza, di

c

raggio R, posto nel 1° quadrante, e dai due lati del settore circolare. Figura 2

Abbiamo, quindi: π / 2 0

R ϕ ϕ

∫ ∫ ∫

i −

ϕ

+ + =

Re

ix i i t

e dx e Re id e idt 0

(4) 0 0 R ε ε →

Il valore dell’integrale lungo l’arco della circonferenza di raggio , per , tende a zero.

0

→ ∞

Per R , il 2° integrale del primo membro della (4) tende a 0, mentre il 3° integrale del primo membro della (4) vale –i; quindi, dalla (4) ricaviamo:

∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫

= + =

ix

e dx Cosxdx i Sinxdx i

(5) 0 0 0

Uguagliando le parti reali e quelle immaginarie, otteniamo:

1

∞

∫ =

Cosxdx 0

(5a) 0

∞

∫ =

Sinxdx 1

(5b) 0

(cfr.[3, pag.12]) −

iR

lim lim e 1

R

∫ = =

ix

e dx i, cioè:

Inoltre, dalla (5) ricaviamo: → ∞ → ∞

R R i

0

lim =

iR

(6) e 0

→ ∞

R

da cui: lim lim

= =

(6a),

CosR 0 SinR 0

→ ∞ → ∞

R R

Osserviamo che:

R R

∫ ∫

= = − −

Cosxdx SinR Sinxdx (

CosR 1

)

,

0 0 → ∞

Passando al limite per R → ∞, utilizzando le (5a) e (5b), ritroviamo le (6a).

1.2.

∫ − iz

1.2. e dz

Ora, applichiamo il 1° teorema integrale di Cauchy all’integrale c

lungo la curva chiusa c, costituita dallo stesso arco di circonferenza, di raggio

R, posto nel quarto quadrante, e dai due lati del settore circolare.

Operando, abbiamo: −

0 0 R

ϕ Figura 3

ϕ

∫ ∫ ∫

i

− − ϕ

+ + =

Re

ix i i t

e dx e Re id e idt 0

(7) π

− / 2 0

R ε ε →

Il valore dell’integrale lungo l’arco della circonferenza di raggio , per , tende a zero.

0

− ∞

R R

∫ ∫ ∫

− −

= − − = −

t

t t

e idt e idt e idt i

, e, quindi: ;

Ora, 0 0 0

π π

0 / 2 / 2

ϕ ϕ

−

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

−