Su due particolari funzioni periodiche e su alcune loro applicazioni

Su due particolari funzioni periodiche e su alcune loro applicazioni

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di Carolla Guido

Sunto

Dopo una breve presentazione delle funzioni periodiche e con le loro proprietà, riferendoci ad un articolo della rivista Scienze, si passa ad un’applicazione di dette funzioni. Altre applicazioni sono nell’ambito geometrico e trigonometrico. Di dette funzioni sono riportati i grafici per mostrare il loro andamento relativo ai vari angoli e sono dati anche i valori differenziali ed integrali i cui passaggi matematici sono riportati in un’appendice che conclude il lavoro.

f g

( ) ( ), e ,

α α

Presentazione delle funzioni periodiche f(m, α) e g(n, α)

Facendo riferimento alla fig. 1, limitata al primo quadrante di un sistema di assi coordinati cartesiani che ha O nell’origine ed in cui sull’asse delle ascisse è posto il vertice A di un triangolo qualunque avente il vertice B sull’asse delle ordinate e il vertice C sull’arco del quarto di circonferenza, con l’angolo α, si abbia OC = 1, AOC = α, AC = f, BC = g, OA = 1/m, OB = 1/n, C’ piede di perpendicolare di C sull’asse delle x, B’ piede di perpendicolare di B sul segmento CC’, siano ancora gli angoli β, γ; considerato il triangolo rettangolo ACC’ = BCC’ = CC’O.

α

OCC’ = 90° − α fig. 1

Dalla fig. 1 si constata che CC’ = sin α e OC’ = cos α, per cui considerato il triangolo rettangolo AC’C in cui AC = f, AC’ = OC’ − OA = cos α − 1/m, applicando il teorema di Pitagora si ha

α

1 1 2 cos α

f² = cos² α − 2 cos α/m + 1/m² = sin² α + cos² α − 2 cos α/m + 1/m² = 1 − 2 cos α/m + 1/m²,

quindi si ha:

1 Docente ordinario di matematica e dirigente scolastico in ogni ordine di scuola, ora a r. 1

1

( ) 2

La funzione periodica f(m, α) = 1 + 1/m² − 2 cos α/m, di periodo 2π.

Facendo alcune considerazioni e procedendo analogamente troveremo la funzione g, come segue:

Dalla fig. 1, considerato il triangolo rettangolo BB’C in cui BB’ = OC’ = cos α, BC = g, BB’ = cos α − 1/n. Essendo OB = B’C’ = 1/n, applicando il teorema di Pitagora si ha

2 2

1 1 2 1 2 sin α

g² = sin² α − 2 sin α/n + 1/n² = cos² α + sin² α − 2 sin α/n + 1/n² = 1 − 2 sin α/n + 1/n², quindi si ha:

1

( ) 2

La seconda funzione periodica g(n, α) = 1 + 1/n² − 2 sin α/n, anch’essa di periodo 2π.

Proprietà delle f(m, α) e g(n, α)

90° cos β;

Dalla fig. 1, ponendo β è: 180° − 90° − β = 90° − β; per cui

A sen

OC = r O’C

90° cos α, 180°

ed anche 90° − α = γ; 180° − γ; per cui.

α γ

O B sen sen sen

B C O C

Ora, applicando il teorema dei seni rispettivamente ai triangoli OAC e BOC si hanno le due proporzioni:

α β α γ

f / sen α = r / sen β e g / r = sen α / cos γ

dalle quali le due funzioni originali sono

: cos :

α α

= =

f sen r sen g r sen cos

' '

α α

· ·

r

CC’ OC

r sen α

( ) ( )

,

e = , per cui i loro rapporti date dai due rapporti, =

α α

= =

g n

f m cos ' '

β γ

sen

OD EE

cos

α γ γ β

f sen sen sen g

diretti ed inversi sono e.

α α

= · = =

tag ctg

cos cos cos

α

β β γ

g f sen

Le due funzioni f e g, come detto, sono periodiche (periodo 2π) ed anche se nei grafici delle figg. 2 a, b relative alla sola f risultano linee spezzate, sono generatrici di curve simili a cuspidi ed a parabole (analogamente per la g(n, x)), rispettivamente per valori di m, n < 0 e m, n > 0, come si può rilevare dagli sviluppi delle relative curve della f(m, x):

figg. 2 a, b

La curva della funzione f(m, x), per ogni m reale negativo esclusi −1 < m < 0, ha un periodo di 2π e si sviluppa nell’intervallo simmetricamente rispetto all’origine degli assi.

( )

π π

− +

Questa ha un massimo nei punti di ascissa −π e +π e un minimo in corrispondenza dell’ascissa nulla. +

La curva della funzione f, per ogni m appartenente ad R, esclusi gli 0 < m < 1, ha un periodo di 2π e si sviluppa nell’intervallo simmetricamente rispetto ai punti di ascissa 0, ove ha un massimo; presenta due minimi in corrispondenza dei punti di ascissa π e 2π.

0

, 2

π

Le due funzioni generalizzate si hanno con OC = r, OA = r/m, OB = r/n:

r r

( ) ( )

2 2

f(m, α) = r²(1 + 1/m² − 2 cos α/m) e g(n, α) = r²(1 + 1/n² − 2 sin α/n),

m n

per −1 > m > −∞ nel II e III quadrante ed ∞ > m > 1 nel I e IV quadrante;

m m

per −1 > n > −∞ nel III e IV quadrante ed ∞ > n > 1 nel I e II quadrante.

n n 3

Dentro di noi i principi della geometria euclidea

Nella rivista “Science”, vol. 213, n. 4513 (1981), alla pag. 1275 è riportato un articolo, dal quale si deduce che sarebbero dentro di noi i principi della geometria euclidea.

Infatti, una serie di esperimenti ha dimostrato che un bambino di due anni e mezzo, cieco dalla nascita (e così pure bambini e adulti vedenti, ma bendati), può individuare il percorso tra due oggetti A e B, dopo essere andato verso ciascuno di essi, partendo da un terzo punto C.

A B C

Per fare ciò, il bambino deve individuare le distanze ed il rapporto angolare dei percorsi e quindi dedurre l’angolo del nuovo percorso.

In sintesi e servendosi della fig. 3 possiamo dire che il bambino, effettuati i percorsi CA e CB, calcola le stesse distanze, gli angoli β e γ

Fig. 3

e in B̂ o

individuando il percorso calcolando la relativa

e quindi deduce gli angoli in  AB BA

distanza. Questi risultati dimostrano che il movimento del bambino cieco è guidato dalla conoscenza delle proprietà euclidee dello spazio e dalle leggi necessarie per trarre le deduzioni basate su tali proprietà.