Goniometria e trigonometria

Goniometria

Goniometria: scienza che studia gli angoli.

Angolo = parte di piano delimitato da 2 semirette con l'origine in comune.

Angoli

• Gradi
• Sistema sessagesimale
• Esempio: 53°, 3', 15''
• Radianti
• L arco
• L arco = l / r
• 1 radiante = circa 57°

Passaggio da sessagesimale a sessadecimale

Esempio: 53°, 25', 16'' = 53, 2516°

1. I primi si dividono per 60
2. I secondi si dividono per 3600

Passaggio da sessadecimale a sessagesimale

Esempio: 28, 41° = 28°, 41', 12''

0, 41 · 60 = 24, 6' → 24'

0, 6 · 60 = 12

Le cifre decimali si moltiplicano sempre per 60.

Lunghezza arco di circonferenza

L arco = 2π R

L arco = (L arco / π R)

Area settore circolare

A s / A c = α / 2π

A s = π r² · α / 2π

= (α r²)

A s = ½ l · r

Passaggio da gradi a radianti

α dei gradi = α · π / 180

α dei gradi = 180°

Esempio: 30° → π / 6

30 : x = 180 : π x = 30 · π / 180 · 6

→ 2π / 2 → 80°

x : x = π / 2 · 180 : π

x = π / 2 · 180° / x = 90°

Goniometria

Goniometria: scienza che studia gli angoli.

Angolo = parte di piano delimitata da 2 semirette con l'origine in comune.

Angoli

• Gradi
• Sistema sessagesimale
• Es. 50°, 3', 15''
• Sistema sessadecimale
• Es. 10,20°
• Radianti
• l_arco
• l_arco = l/r
• 1 radiante = circa 57°

Passaggio da sessagesimale a sessadecimale

Es. 53° 25' 16'' = 53 + (25/60) + (16/3600)

1. Primi si dividono per 60
2. Secondi si dividono per 3600

Passaggio da sessadecimale a sessagesimale

Es. 28, 41° = 28° 41' 12''

0, 41 x 60 = 24, 60 → 24'

0, 24 x 60 = 12''

(Le cifre decimali si moltiplicano sempre per 60)

Lunghezza arco di circonferenza

l_arco = l/r = (α * d_s)/360°

Area settore circolare

A_s : A_c = α : 2π

A_s = (α/2π) * π * r²

A_s = 1/2 *l* r

Passaggio da gradi a radianti

d_gradi = 180° : π radianti

Es. 30° → π/6

30 : x = 180 : π

X = 30 * π / 180

x = π/6

d_gradi → 80°

x : π = 2

X = (π/2 * 180°) / π

x = 90°

Angoli

Circonferenza goniometrica

Circonferenza di centro O(origine) e raggio 1.

x² + y² = 1

Positivo es. α=30°

Negativo es. β=-30°

Funzioni goniometriche

Sono funzioni che alla misura dell'ampiezza di ogni angolo associano un numero reale.

Funzione seno

Funzione seno sin x: R ➝ [-1,1]

È una funzione dispari ➝ sin(-x) = -sin x

Grafico simmetrico rispetto all'origine.

È una funzione periodica, di periodo 2π.

Funzione coseno

Funzione coseno cos x: R ➝ [-1,1]

È una funzione pari ➝ cos(-x) = cos x

Grafico simmetrico rispetto all'asse Y.

È una funzione periodica, di periodo 2π.

sinα = y_B

cosα = x_B

Relazioni fondamentali

1^a relazione fondamentale della goniometria

_seno²α + _cos²α = 1

1. Cos²α = 1 - sen²α
2. Cosα = ±√(1 - sen²α)
3. ±√(1 - sen²α) se α ∈ 1^o e 4^o quadrante
4. ±(1 - sen²α) se α ∈ 2^o e 3^o quadrante
5. Sen²α = 1 - cos²α
6. Senα = ±√