Su alcune serie delle progressioni

Su alcune serie delle progressioni

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Guido Carolla

Sunto. Da un’ipotesi di passaggio dal discreto al continuo delle funzioni caratteristiche delle varie progressioni, si perviene, mediante alcuni strumenti dell’analisi matematica:

• Allo sviluppo in serie di Maclaurin delle stesse funzioni;
• Ai calcoli delle somme e dei prodotti dei primi n termini consecutivi, con la formula di somma di Eulero-Maclaurin;
• Ad una breve esposizione di alcune altre serie delle stesse progressioni.

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1. Alcune serie delle progressioni

1.1 Ipotesi di passaggio dal discreto al continuo

Le formule caratteristiche delle varie progressioni sono delle funzioni discrete che hanno la variabile indipendente, x, che assume i valori dei pedici 1, 2, 3 …, n, … dei termini e la variabile dipendente, y, che assume i valori dei corrispondenti termini.

Ora, sotto l’ipotesi che nei punti di ascissa x la funzione abbia dei punti di accumulazione e considerando che in generale una funzione y = f(x) è continua nel punto di ascissa x = a se preso a piacere un numero positivo s piccolo quanto si vuole è sempre possibile trovare un tale numero e che per ogni valore positivo e<e si abbia sempre numericamente |f (a+e) – f (a-e)| < s;

considerando, inoltre, che se una funzione è continua in tutti i punti di intervallo (a,b) essa si dice continua in tutto l’intervallo e che la funzione y = f (x) può comunque avere per diagramma una linea continua, acquista significato considerare continue dette funzioni caratteristiche delle varie progressioni, per cui è lecito trovare di esse le derivate e gli integrali per gli usi che, come si vedrà, se ne possono fare.

1.2 Sviluppo in serie delle funzioni caratteristiche

Nell’ipotesi di cui al precedente paragrafo, infatti, se la funzione f (x) e le sue prime n derivate sono continue, supponendo che la funzione data possa venire rappresentata da una serie di potenze di x questa serie ha necessariamente la forma della serie di Maclaurin:

. . 2 . 3 (n) .

f (x) = f (0) + f’ (0) x / (1!) + f’’ (0) x / (2!) + f’’’ (0) x / (3!) +….+f (0)

n . n (n+1) . n+1

x / (0) x / (n!) + f (c) x /[ (n+1)! ],

dove l’ultimo termine è il resto dello sviluppo R (x), che rappresenta l’errore che si commette quando si assume come valore approssimato della funzione f (x) la somma dei primi n+1 termini dello sviluppo e dove c indica un certo valore intermedio fra 0 e x.

Pertanto, ma solo per pura ricerca e comunque con fini teorici più che pratici, per i casi in cui non si annullano i denominatori, si sono ottenuti gli sviluppi in serie di Maclaurin delle funzioni caratteristiche delle progressioni armoniche, logaritmiche e potenziate erresime, ?

∈ +

a R ; gli sviluppi rappresentano tali funzioni per quei valori, e solo per quei valori, di

=

R ( x

) 0

x per i quali :

lim n

→

∞

n .

a) Funzione caratteristica della progressione armonica

Per la funzione caratteristica della progressione armonica si ha f(x) = d a 1

2 3

a a

. . . . 2 . . 2 3

/ [ d + (x - 1) a ] = d a / (d - a ) – d x / (d - a ) + d x / (d -a ) – d

1 1

1 1 1 1 1

4 n+1

a a

. . 3 4 n . . . n n+1

x / (d - a ) +…(-1) d x / (d - a ) + R , dove il resto è R = (-

1 1

1 1 n n

n+1

n+ 2 x

a

n+1 . . . . n+2

1) d / (a c – a + d) , con 0<c<x, rappresenta l’errore che si commette quando si assume come valore approssimato della funzione f(x) la somma dei primi n+1 termini dello sviluppo;

b) Funzione caratteristica della progressione logaritmica

Per la funzione caratteristica della progressione logaritmica si ha:

−

x 1 . . 2 2 2 . 2

q 1 / q

a

f(x) = = a {1 + ln q ln a / q x + ln q ( ln a / q + ln a / q) x / /

1 1 1

1 1

3 3 3 2 2 . 3 4 4 4

(2!) + ln q ( ln a / q + 3 ln a / q + ln a / q) x / (3!) + ln q ( ln a / q

1 1 1 1

3 3 2 2 . 4 n n n

+ 6 ln a / q + 7 ln a / q + ln a / q) x / (4!) +…+ ln q ( ln a / q + b

1 1 1 1

n-1 n-1 n-2 n-2 2 2 . n

ln a / q + d ln a / q +…+ z ln a / q + ln a / q) x / (n!)} + R

1 1 1 1 n

dove i coefficienti

b = b + n - 1, d = d + b (n – 2), z = 2z + 1 dipendono dai corrispondenti coefficienti dei termini precedenti e dove il resto è

−

c 1 . n+1 . (n+1) (c-1) . n+1 n (c-1) . n

q

a

R = ln q [q ln a + (b + n) q ln a +

n 1 1

1 . (n-1) (c-1) . n-1 2 (c-1) . 2

+ [ d + b (n – 1) ] q ln a +…+ (2z + 1) q ln a +

1 1

c-1 . . n+1

+ q ln a ] x / [ (n+1)! ], con 0 < c < x ;

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Un altro sviluppo in serie, equivalente ma meno complesso di quello di cui sopra, è dato dal seguente limite

[ ( )

− − − 2

x 1

= = + · + · +

q x 1 x 1

f ( x ) a lim 1 q ln a / 1

! q ln a / 2

!

1 1 1

→

∞

n

( ) ( ) 

3 n

− −

+ · + + ·

x 1 x 1

q ln a / 3

! ... q ln a / n

!



1 1