Sinergia tra sistemi dinamici e musica: un'armoniosa fusione tra modellizzazione matematica e creazione sonora

Università degli Studi della Calabria

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Matematica

Tesi di Laurea

Sistemi dinamici e musica

Relatore:

Prof.ssa Annamaria Canino

Candidata:

Stefania Gervasi

Anno Accademico 2000/2001

A Daniele e alla sua passione per la matematica.

E per essermi stato sempre vicino in modo straordinario,

Grazie!

Introduzione

La modellizzazione di diversi fenomeni (fisici, biologici, meccanici, ...) ha nei sistemi dinamici il suo fondamento. Mediante il loro studio si possono avere informazioni sull’andamento di tali fenomeni nel tempo. È possibile, ad esempio, individuare caratteristiche particolari, come l’assestamento nell’intorno di un punto (equilibrio), la tendenza a percorrere una determinata orbita (ciclo limite) e i comportamenti caotici che alcuni sistemi possono presentare.

In questa tesi si è affrontato tale studio con l’aiuto del software Matlab e di alcuni programmi sviluppati per esso, disponibili in Rete (pplane5.m). L’analisi eseguita da Matlab conduce, ovviamente, a delle rappresentazioni grafiche delle variabili dei sistemi; quello che, invece, si è voluto inserire è stata l’esplorazione di tali oggetti matematici da un nuovo punto di vista, o meglio... di ascolto!

Ecco perché “Sistemi dinamici e musica”! Il risultato di questa lavoro, infatti, è la creazione di un programma (SDM: Sistemi Dinamici e Musica) capace di ricevere un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, di visualizzare il suo ritratto nel piano (o eventualmente nello spazio) delle fasi e, a partire da tutto ciò, creare musica! E proprio attraverso questa musica, prodotta per via algoritmica, ho voluto provare a studiare il comportamento del sistema dinamico con i seguenti obiettivi:

• Ascoltare le soluzioni e comprendere dalla musica il loro andamento, quantomeno da un punto di vista qualitativo. Nel processo di “musificazione” si è cercato, infatti, di riprodurre il più fedelmente possibile le caratteristiche del sistema dinamico.
• Riconoscere gli eventuali equilibri e cicli limite del sistema mediante la musica da loro prodotta.
• Confrontare musicalmente più soluzioni con condizioni iniziali differenti.
• Esplorare il caos attraverso la musica.

Per creare questo genere di musica sono stati usati degli opportuni strumenti: principalmente i due software Matlab e Csound, per i quali sono stati implementati degli appositi file di programmazione.

Ovviamente, però, non è stata tralasciata neanche la parte teorica, che ha richiesto lo studio delle basi matematiche del suono, i fondamenti della sintesi musicale (e quindi l’analisi di Fourier) e la teoria dei sistemi dinamici, con relativi teoremi fondamentali e analisi di particolari modelli (preda-predatore, mappa logistica, equazioni di Van der Pol, attrattore di Lorenz,...).

La realizzazione di SDM è stata dunque un’applicazione della matematica alla musica. Tuttavia l’utilizzo di questo programma può anche essere considerato come uno strumento utile per la didattica. La fusione con la musica può stimolare e “addolcire” lo studio di una disciplina come la matematica, che non sempre riscuote troppi successi. D’altra parte, per coloro che invece gustano già i “sapori della matematica”, SDM può essere un’occasione per comprendere meglio (o comunque sotto un’altra prospettiva) quei concetti che si è abituati a vedere con

Formule e grafici.

Da un punto di vista strettamente musicale, SDM, come tutta la produzione di musica per via algoritmica, è uno stimolo per la creatività di ogni compositore.

C’è anche da ricordare che la musica elaborata da SDM è legata strettamente a sistemi dinamici significativi, i quali, spesso, sono l’espressione di fenomeni naturali. Sarebbe interessante approfondire questo uso di SDM, creando delle corrispondenze fra forme musicali e fenomeni naturali, e scoprire le eventuali similitudini o divergenze fra le musiche prodotte dai diversi fenomeni.

Un altro tipo di sviluppo di questo programma può essere quello di inserire nuovi parametri nella creazione musicale. Per sistemi con più di tre variabili, infatti, si potrebbero far corrispondere non solo le frequenze e le ampiezze delle note, ma ad esempio, ad una variabile si potrebbe associare una variazione di strumenti, oppure essa potrebbe controllare l’uscita del suono dalle casse, o ancora, introdurre variazioni ritmiche.

Questi gli argomenti trattati in ogni capitolo.

Nel primo capitolo ci avviciniamo alle basi della scienza del suono. Si inizia dalle radici storiche, con gli esperimenti compiuti dai Cinesi e dai Greci, e si giunge, passando attraverso l’esperienza decisiva del monocordo, alle diverse scale musicali (Pitagorica e Tolemaica) fino a quella ben temperata.

Dopo una breve analisi dei caratteri fisici del suono, sono descritti i meccanismi del nostro apparato uditivo, per cercare di comprendere meglio il percorso effettuato dall’impulso sonoro, che dall’esterno giunge fino al cervello.

Nel secondo capitolo sono presentati invece i legami fra la musica e la matematica. Con lo studio del moto armonico e delle oscillazioni di una corda sono trattati

Gli argomenti base dell’analisi di Fourier, “ingredienti” fondamentali nella sintesi sonora. Successivamente viene descritta la sintesi effettuata attraverso sintetizzatori elettronici. Si pone dunque l’attenzione sull’inviluppo di un’onda, sui diversi tipi di sintesi (additiva e sottrattiva) e sulle modulazioni di frequenza (FM) e di ampiezza (AM), per concludere con il trattamento digitale del suono.

Nel terzo capitolo si introduce il concetto di musica generativa. Essa si basa sulla possibilità di una generazione musicale infinita, sempre diversa, grazie ad algoritmi semplici e sempre nuovi.

Dopo un breve excursus sulle diverse tecniche di composizione algoritmica, sono descritte alcune sperimentazioni moderne.

Nel quarto capitolo è affrontato lo studio della teoria dei sistemi dinamici. Oltre ai teoremi base sull’esistenza e il prolungamento delle soluzioni è stata trattata la stabilità degli stati di equilibrio di un sistema, il criterio di Liapunov e la classificazione dei punti di equilibrio.

Nel quinto capitolo è riportato lo studio di alcuni sistemi specifici. Sono stati calcolati i loro punti di equilibrio e, con l’aiuto di Matlab, si sono potuti evidenziare alcuni comportamenti particolari, come ad esempio la presenza di cicli limiti o attrattori strani.

Nel sesto capitolo vengono descritti i file che SDM crea per produrre degli spartiti musicali (file per MIDI e per Csound). Inoltre sono presentate le diverse tecniche di musificazione necessarie per realizzare gli obiettivi esposti precedentemente.

Nel settimo capitolo, infine, vengono esposte, in modo dettagliato, le tecniche di musificazione utilizzate in SDM. Viene spiegato in che modo sono associate, algoritmicamente, le variabili fisiche del sistema dinamico alle variabili di musificazione. In questo capitolo, inoltre, è riprodotta l’esecuzione di SDM e la presentazione delle sue finestre grafiche, le quali permettono all’utente di creare musica secondo le proprie esigenze.

Nell’appendice, infine, sono riportati alcuni codici di programmazione necessari per la realizzazione di SDM.

Indice

Introduzione I

1 Fondamenti della scienza del suono 1

1.1 Le radici storiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Scala pitagorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Scala tolemaica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Scale musicali e temperamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Scala pitagorica e scala naturale . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Scale temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Caratteri fisici e musicali del suono . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Ampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Altezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Timbro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.4 Frequenze formanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.5 Ritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.6 Livello sonico e durata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 I meccanismi dell’udito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Indice

2 Basi matematiche della musica 22

2.1 Il moto armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Corde vibranti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2 Identità trigonometriche e battimenti . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Coefficienti di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.2 Convergenza e Cesaro-sommabilità . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.3 Fenomeno di Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.4 Funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Trasformata di Fourier e Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.2 Dalla trasformata di Fourier a quella Wavelet . . . . . . . 45

2.3.3 La windowed trasformata di Fourier (WFT) . . . . . . . . . 47

2.3.4 Trasformata wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.5 Applicazioni delle wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4 Sintesi musicale da computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.1 Inviluppo dell’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.2 Sintesi additiva e sottrattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.3 Modulazione di ampiezza (AM) e di frequenza (FM) . . . 59

2.5 Trattamento digitale del suono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5.1 Campionamento del suono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5.2 Teorema di Nyquist ed effetto di aliasing . . . . . . . . . . 64

2.5.3 Sintesi digitale FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5.4 Sintesi FM e Yamaha DX7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Indice

3 Musica generativa 70

3.1 Musica e algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.1 Tecniche di composizione algoritmica . . . . . . . . . . . . 71

3.2 Esempi-base di musica algoritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3 Alcune sperimentazioni moderne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3.1 Composizioni frattali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3.2 Esempio di composizione multimediale . . . . . . . . . . . . 82

3.3.3 Elaborazione cerebrale dei segnali . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3.4 Comporre con gli automi cellulari . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.5 Esempio di composizione con i sistemi dinamici . . . . . . . 89

3.4 Musica algoritmica e Csound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Teoria dei sistemi dinamici 93

4.1 Un primo approccio ai sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1.1 Lo spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2 Teoremi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2.1 Esistenza ed unicità locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2.2 Prolungamento delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2.3 Soluzione globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2.4 Il flusso di un’equazione differenziale . . . . . . . . . . . . 105

4.3 Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3.1 Stabilità dei sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.2 Stabilità dei sistemi NON lineari . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4 Funzioni di Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.5 Classificazione dei punti di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Indice

5 Sistemi dinamici e Matlab 142

5.1 Matlab e Pplane5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.2 Modello preda-predatore di Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . 144

5.2.1 Andamento intuitivo del sistema . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.2.2 Punti di equilibrio del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2.3 Linearizzazione del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.2.4 Simulazioni con Pplane5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.2.5 Soluzioni particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.3 Il pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.4 Crescita di una popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.5 Equazione di Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.6 Sistema di sospensioni di un autobus . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.7 Pitch-Controller (Beccheggio di un aereo) . . . . . . . . . . . . . 176

5.8 L’attrattore di Rossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.9 Le equazioni di Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6 Sistemi dinamici e musica 185

6.1 Uso di Matlab, non solo da utente . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.2 SDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.2.1 I file score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.2.2 I file Met . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.3 Corrispondenze fra musica e immagini . . . . . . . . . . . . . . . 191

7 SDM, Csound e Midi 200

7.1 Eseguiamo SDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.2 Creazione dei file .sco e .met da SDM . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.2.1 File score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.2.2 File Met . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.3 Dallo spartito alla musica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A File di programmazione per SDM 211

Bibliografia 220

Capitolo 1

Fondamenti della scienza del suono

1.1 Le radici storiche

La storia del rapporto tra l’uomo e la scienza del suono affonda le sue radici nel tempo fino a 4000 anni fa. In quegli anni i cinesi compivano esperimenti facendo suonare canne di diversa lunghezza, dando così inizio allo studio che, nel corso dei secoli, approdò a risultati decisivi. A segnare un punto di svolta è stata l’esperienza del monocordo, databile nel sesto secolo a.C.

I greci costruirono questo piccolo, semplice strumento, che li portò a cogliere direttamente il nesso tra l’altezza del suono e la sua lunghezza d’onda (la distanza fra due massimi consecutivi dell’onda).

Il monocordo è una corda a estremi fissi, tesa sopra una cassa di risonanza, come schematizzato in figura 1.1. La tensione della corda può essere variata tramite una sorta di spinotto. Un ponticello scorrevole permette di spostare uno degli estremi della corda in un qualsiasi punto intermedio, così da variare a piacimento la lunghezza della parte di corda che si intende porre in oscillazione.

Figura 1.1: Il monocordo

Il risultato che si ottiene, a tensione fissa, è che l’altezza del suono, a giudizio dello sperimentatore, è inversamente proporzionale alla lunghezza della parte di corda che è in azione.

La lunghezza d’onda fondamentale del suono emesso (λ), in realtà, è pari al doppio della lunghezza della corda vibrante, per cui, se la velocità (v) di propagazione della deformazione meccanica sulla corda si potesse assumere costante al variare della frequenza del suono, l’equazione v = λf, permetterebbe di dare, per la frequenza fondamentale f del suono emesso, la seguente dipendenza dalla lunghezza L della corda vibrante: f = v/(2L).

Il monocordo dei greci permise, in particolare, di definire e capire i seguenti importanti aspetti:

1. Intervallo

Fintanto che si mantiene costante il rapporto tra le lunghezze delle corde oscillanti, resta costante il rapporto tra le altezze dei suoni, oggi chiamato intervallo.

2. Ottava

L’ottava è l’intervallo tra il suono emesso dalla corda in assenza di ponticello e quello in cui il ponticello è posto nel punto centrale della corda per cui corrisponde ad un rapporto delle lunghezze delle parti vibranti della corda uguale a 2.

I greci identificarono l’intervallo di ottava come quello di massima consonanza.

3. Altri intervalli notevoli

Il secondo intervallo che i greci giudicarono di grande importanza per l’armonia, dopo l’ottava, è quello di quinta perfetta, che corrisponde a un rapporto di 3/2 tra le lunghezze della corda vibrante (do-sol). Viene poi l’intervallo di quarta perfetta (do-fa), con rapporto di lunghezze della corda vibrante di 4/3. Solo molti secoli più tardi, Tolomeo riconoscerà il valore degli intervalli di terza maggiore (do-mi, con rapporto 5/4) e di sesta maggiore (do-la, con rapporto 5/3). È interessante notare che le note che sembrano dare accordi consonanti corrispondono a frazioni tra numeri interi, con risultati tanto più gradevoli quanto più i numeri sono piccoli. Ciò fece enunciare a Pitagora la celebre frase: “Il segreto dell’armonia sta nel magico potere dei numeri”.

4. Intervalli musicali e rapporti armonici

È significativo rilevare che tutti gli intervalli di interesse nella scala tonale corrispondono a note la cui frequenza è multipla di una fondamentale f (si veda la tabella 1.1), ossia stanno in rapporto armonico con essa.

Nota Intervallo Nota Intervallo

f unisono 4f 2 ottave

2f ottava 5f 2 ottave + 3 maggiore

3f ottava + 5 6f 2 ottave + 5 maggiore

Tabella 1.1: Multipli di una frequenza fondamentale f.

5. Tensione della corda

Incrementando la tensione della corda, l’altezza del suono aumenta, ciò permette di stabilire, attraverso l’equazione f = v/(2L), che la velocità del suono cresce con la tensione.