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Le funzioni razionali intere

  • Studio di funzione
    • Dominio
    • Simmetrie
    • Intersezione con gli assi
    • Positività
    • Limiti
    • Derivate
    • Grafico

Studiare la seguente funzione:

y = 3x - x3

Dominio

Funzione razionale intera: D = R

Intersezione con gli assi

y = 3x - x3y = 0

3x - x3 = 0y = 0

x(3 - x2)y = 0

x = 0x = ±3y = 0

O (0; 0)A (-3; 0)B (+3; 0)

La funzione con l'asse delle ascisse interseca l'asse delle ascisse in x = ±3;

Simmetrie

f(-x) = 3(-x) - (-x)3

= -3x + x3

f(-x) = -[3x - x3] = -f(x)

La funzione e' dispari => e' simmetrica rispetto all'origine.

Positività

f(x) > 0

3x - x3 > 0

x(3 - x2) > 0

x > 0

3 - x2 > 0   ->   x2 < 3

-3 < x < 3

f(x) > 0   x ∈ (-∞; -3) U (0; 3)

f(x) < 0   x ∈ (-3; 0) U (3; +∞)

Limiti agli estremi del dominio

lim f(x) = 3( ) - ( )3

= - forma indeterminata

lim f(x) = 3( ) - ( )3

= - + forma indeterminata

asintoto orizzontale

f(x) e illimitata

Asintoto obliquo?

y = mx + q

m = lim f(x) / x

m = lim (3x - x3) / x = 3 - x2 = -

asintoto obliquo

asintoto verticale

Derivata prima

y = 3x - x3

y' = 3 - 3x2

y' = 3(1 - x2)

y' >= 0

(1 - x2) >= 0

x2 <= 1

-1 <= x <= 1

f(x) ha un minimo relativo in x = -1

f(-1) = 3(-1) - (-1)3

= -3 + 1

= -2

m(-1; -2)

f(x) ha un max relativo in x = +1

f(+1) = 3(+1) - (+1)3

= 3 - 1 = 2

M(+1; 2)

Derivata seconda

y' = 3(1 - x2)

y'' = 3(-2x)

y'' = -6x

y'' >= 0

-6x >= 0     x <= 0

x = 0

e' punto di flesso

1)

y

-3

+3

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Sintesi

Studio di una funzione razionale intera

Consideriamo per semplicità una funzione razionale intera, ossia ha una funzione la cui equazione è un polinomio di grado n; la funzione in esame, svolta nell'allegato, è un polinomio di terzo grado. Le funzioni razionali intere hanno per dominio tutto l'insieme dei numeri reali, quindi

[math]D = R[/math]
[math][/math]. Questo significa che qualsiasi numero reale x noi inseriamo nella equazione [math]y=f(x)[/math]
otteniamo sempre un valore y=f(x), detto immagine di f, appartenente in questo caso ancora ad R. Nel secondo passo verifichiamo se la funzione gode di particolari simmetrie, osservando attentamente l'espressione della funzione,
[math]y=3x-x^3[/math]
. In essa compaiono solo potenze dispari
[math]x[/math]
e
[math]x^3[/math]
, quindi la funzione è sicuramente simmetrica rispetto all'origine, ovvero è una funzione dispari, infatti è verificata la relazione:

[math]f(x)=-f(x)[/math]

Controlliamo adesso se la funzione interseca gli assi cartesiani, quindi risolviamo i due sistemi costituiti ciascuno dall'equazione della funzione con un asse cartesiano. Indichiamo opportunamente con delle lettere A, B, etc. gli eventuali punti di intersezione che troviamo.

Passiamo ora allo studio del segno, ovvero la positività. Risolviamo quindi la disequazione

[math]y>0[/math]
e individuiamo gli intervalli di R in cui la funzione assume valori positivi e quelli in cui la funzione assume valori negativi. Passo successivo è il calcolo dei limiti; questi vanno effettuati osservando attentamente l'estensione del dominio. In questo caso la funzione è definita in tutto R, perciò gli estremi del dominio sono
[math]+\infty[/math]
e
[math]-\infty[/math]
. È solo qui che andremo a verificare il comportamento della funzione. Se il risultato di questi limiti è numero finito
[math]l[/math]
, allora diremo che la funzione ammette asintoto orizzontale di equazione
[math]y=l[/math]
, altrimenti andremo a verificare se esiste un asintoto obliquo di equazione:
[math]y=mx+q[/math]
a cui il grafico tende. Non ci sono punti di discontinuità nel dominio; la funzione non ammette sicuramente asintoti verticali. Lo studio del segno della derivata prima ci consente di stabilire se la funzione ammette massimi o minimi relativi. Per questa funzione troveremo sia un minimo relativo che un massimo relativo. Lo studio del segno della derivata seconda ci dà informazioni sul verso della concavità.

Per finire completiamo lo studio con un grafico qualitativo.

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