Studiare e tracciare il grafico della funzione [math] f{{\left({x}\right)}}={x}^{4}-{2}{x}^{2}[/math]

Studio e grafico della funzione

Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione:

f(x) = x⁴ − 2x².

La funzione f è definita su tutto R ed è pari.

Soluzione.

f(x) = x²(x² − 2)

Si ha che f(x) = 0 se e solo se x = 0 o x = ±√2.

Inoltre f(x) > 0 se e solo se x ∈ (−∞, −√2) ∪ (√2, +∞), mentre f(x) < 0 se e solo se x ∈ (−√2, √2).

I limiti agli estremi del dominio sono dati da

lim_x→±∞(x⁴ − 2x²) = +∞.

f non ha asintoti.

Essendo polinomiale, f è di classe C^∞(R) e risulta

f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x² − 1).

Ne segue che f′(x) = 0 se e solo se x = 0 o x = ±1.

Poi, f′(x) > 0 se e solo se x ∈ (−1, 0) ∪ (1, +∞), mentre invece f′(x) < 0 se e solo se x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1).

Quindi f decresce in (−∞, −1), ha un punto di minimo locale (ed assoluto) in x = −1, cresce in (−1, 0), ha un punto di massimo locale (non assoluto) in x = 0, decresce in (0, 1), ha un secondo punto di minimo locale (ed ancora assoluto) in x = 1, ed infine cresce in (1, +∞).

1m

Allora

min f = f(−1) = f(1) = −1.

R

Quanto alla convessità si ha

f″(x) = 12x² − 4.

Da cui si trova che f è convessa in (−∞, −1/√3), ha un punto di flesso in x = −1/√3, è concava in (−1/√3, 1/√3), ha un secondo punto di flesso per x = 1/√3, ed infine f è convessa in (1/√3, +∞).

1F

2F