Punti notevoli del quadrangolo: Uno studio sistematico sulle loro proprietà e connessioni

Università degli Studi di Padova

Facoltà di Scienze MM.FF.NN.

Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata

Corso di Laurea in Matematica

Tesi di Laurea

Studio di Alcuni Punti Notevoli del Trapezio

Relatore: Prof. Benedetto Scimemi

Laureanda: Anna Baccaglini-Frank

Anno Accademico 2004-2005 Alla Mia Famiglia

Indice

Introduzione 7

0.1 Notazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Alcuni Punti Notevoli e Similitudini del Trapezio 11

1.1 Baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 O-centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 H-centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 N-centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Alcune Proprietà di H . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Punto J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Quadrilateri Complementari e Punto di Miquel . . . . . . . . 17

2 Teoremi Specifici del Trapezio 19

2.1 Mediana Principale e Retta OH del Trapezio . . . . . . . . . 20

2.2 Alcune Proprietà del Punto di Miquel del Trapezio . . . . . . 22

2.3 Trapezio Isoscele (Ciclico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Parallelogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Descrizione Analitica del Trapezio 29

3.1 Caso Generale (Quadrangolo non Ortogonale) . . . . . . . . . 29

3.2 Casi Particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Trapezio Ciclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.2 Parallelogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.3 Rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.4 Trapezio Ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.5 Trapezio Ortogonale e Ciclico . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.6 Rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.7 Quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Ricostruzione del Trapezio 43

4.1 Ricostruzione a partire da G, O, H, M . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.1 Luogo di O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.2 Luogo di M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Ricostruzione del trapezio isoscele . . . . . . . . . . . . . . . 52

5

Introduzione

I punti notevoli del triangolo sono stati i protagonisti di una notevole quantità di articoli e libri, la cui produzione toccò il suo massimo a fine ’800. Recentemente alcuni matematici come, per esempio, R. Kimberling [4], hanno ritrovato interesse per i punti notevoli del triangolo.

Sorprendentemente, invece, non sono stati portati avanti analoghi studi sui punti notevoli del quadrangolo e del quadrilatero. Per il quadrilatero completo (quattro lati e sei vertici) si può fare riferimento ai contributi di G. Steiner [1]; mentre per quanto riguarda il quadrangolo completo (quattro vertici e sei lati) la bibliografia si riduce a qualche decina di articoli, tra loro disconnessi.

Uno studio sistematico di questo argomento è stato fatto da B. Scimemi, in [7], che si è avvalso anche della collaborazione di alcuni suoi studenti, [8]. Qui si trova la descrizione e lo studio delle proprietà di alcuni punti notevoli del quadrangolo completo. Riportiamo qui la definizione di punto notevole o speciale, adottata in [7].

“Assegnati i vertici A_i (i = 1, ...n) di un n-gono A, un punto N si dice notevole per A se è una funzione N = N(A) simmetrica negli argomenti A_i e tale che per tutte le similitudini φ del piano risulti φ(N(..., A_i, ...)) = N(..., φ(A_i)). Chiameremo covarianza questa permutabilità tra le funzioni N e φ. Analogamente definiremo notevoli per A una retta, un cerchio, una conica, un m-gono ecc. insomma ogni altro ente geometrico che sia funzione simmetrica e covariante degli A_i nel senso spiegato.”

Per costruire figure notevoli a partire da una figura A useremo procedure. Ad esempio, sia data una funzione simmetrica M di n punti A₁, ..., A_n. Una procedura che useremo frequentemente consiste nel calcolare M sugli n + 1 insiemi costituiti da tutti i sottoinsiemi di n vertici di un n + 1-agono, A. Otteniamo così un nuovo n + 1-agono, che chiameremo m(A), il cui vertice i-esimo è M(A₁, ...A_i-1, A_i+1, ..., A_n, A_n+1).

La nozione di figura notevole ci permetterà di fare alcune osservazioni che risulteranno utili nel corso della trattazione:

• 7→ se m: A → m(A) è una similitudine del piano e m(A) è notevole per A, allora il suo centro U è un punto notevole di A;
• se m(A) e p(A) sono figure notevoli rispetto ad A e m, p sono similitudini del piano, allora il punto unito V di p⁻¹ ◦ m: m(A) → p(A) è notevole per A;
• se N è un punto notevole di una figura notevole rispetto ad A, N è un punto notevole di A.

La maggior parte della trattazione in [7] si riferisce al caso in cui ogni coppia di lati opposti del quadrangolo s’incontra al finito². Resta così escluso il caso del trapezio, che sarà invece l’oggetto della nostra trattazione.

Per trapezio intendiamo un quadrangolo, i cui vertici A₁, A₂, A₃, A₄ siano distinti, non allineati e tali che due lati opposti A₁A₂ e A₃A₄ siano paralleli.

Il trapezio merita di essere studiato a parte, in quanto molte nozioni per questa classe di figure si semplificano notevolmente rispetto al caso generale. Vedremo, in particolare, che

• si può dare una caratterizzazione della classe dei trapezi mediante una semplice relazione geometrica tra tre particolari punti notevoli (OGH) del quadrangolo completo;
• lo studio dei punti notevoli del trapezio viene semplificato poiché molte figure antisimili del quadrangolo diventano simili nel caso del trapezio;
• è possibile, a differenza che nel caso generale⁴, ricostruire il trapezio con riga e compasso a partire da alcuni (quattro) suoi opportuni punti notevoli;
• la descrizione analitica dei punti notevoli usati per la ricostruzione aiuta a definire il luogo geometrico in cui deve trovarsi un punto notevole (M) una volta fissati gli altri tre (O, G, H) affinché i vertici del trapezio abbiano coordinate reali.

² È il caso in cui nessuna coppia di lati opposti è formata da rette parallele.

³ Si rimanda a [7] per la nozione di figure antisimili.

⁴ Il problema algebrico per il quadrangolo generale comporta la soluzione di equazioni algebriche di grado tre e dunque non è risolubile mediante costruzioni con riga e compasso.

Notazione

0.1 Notazione

Useremo la seguente notazione che già si trova in [7]:

A indica il trapezio di vertici A₁, A₂, A₃, A₄;

A_ij punto medio di A_iA_j;

A_ij,hk indica il punto diagonale intersezione dei lati opposti A_iA_j, A_hA_k. Nel trapezio le intersezioni diagonali al finito sono due: A_13,24 e A_14,23;

T_i = A_jA_hA_k, con i tre vertici distinti con i, j, h, k ∈ {1, 2, 3, 4}, indica il generico triangolo complementare di A;

o(A) trapezio dei circocentri dei triangoli complementari di A (proposizione 1.2);

n(A) trapezio dei nove-centri, o centri dei cerchi dei nove-punti dei T_i (proposizione 1.9);

G(A) baricentro del trapezio (paragrafo 1.1);

H(A) H-centro di A, centro delle similitudini tra i tre trapezi pedali (paragrafo 1.3);

O(A) O-centro di A, centro della similitudine che manda A in o(A) (paragrafo 1.2);

N(A) centro della similitudine che manda A in n(A) (paragrafo 1.4);

J(A), H-centro del trapezio o(A) (paragrafo 1.5);

(ZXY) cerchio per i punti X, Y, Z;

P^A simmetrico di P rispetto ad A, effetto del mezzo-giro di P intorno ad A;

P^AB immagine di P nella riflessione sulla retta AB;

P_AB proiezione ortogonale di P sulla retta AB;

A_i,j proiezione ortogonale di A_i sulla retta A_hA_k, con i, j, h, k ∈ {1, 2, 3, 4}.

Inoltre quando ci riferiremo

• alla mediana principale del trapezio intenderemo la retta per i punti medi dei lati paralleli (a tale retta appartengono anche il baricentro e i punti diagonali al finito)⁵;
• al nove-cerchio di un certo triangolo intenderemo il cerchio per i punti medi (e i piedi delle altezze) dei lati del triangolo (teorema di Poncelet).

⁵ Alla mediana principale appartiene anche l’H-centro del trapezio. Questo fatto sarà dimostrato nella proposizione 2.3

Con riferimento a tre punti A, B, C, indicheremo con

• [ABC] l’angolo orientato tra le rette AB e BC, valutato modulo π;
• [[ABC]] l’angolo orientato tra le semirette uscenti da B, BA e BC, valutato modulo 2π.

Infine indicheremo rispettivamente positive e negative le similitudini che lasciano fissi e scambiano segno agli angoli orientati.

Nota: vogliamo qui riprecisare che non tratteremo i casi degeneri di trapezi aventi due vertici coincidenti o tre vertici allineati. Considereremo, invece, come casi particolari (ma li studieremo a parte), il trapezio isoscele e il parallelogramma. Le proposizioni del capitolo 1 e del capitolo 2 (tranne nei paragrafi 2.3 e 2.4) sono valide per i trapezi, intesi come quadrangoli non ciclici (cioè con i vertici appartenenti ad uno stesso cerchio) aventi i quattro vertici distinti non a tre a tre allineati e aventi una coppia di lati opposti paralleli. Il caso ciclico, che è poi quello del trapezio isoscele, sarà studiato a parte in modo sintetico al 2.3 e in modo analitico ai paragrafi 3.2.1 e 3.2.5.

Infine al parallelogramma abbiamo dedicato i paragrafi 2.4 e 3.2.2.

Capitolo 1

Alcuni punti notevoli e similitudini del trapezio

In questo capitolo descriveremo alcuni punti notevoli del trapezio, deducendone proprietà dai corrispondenti punti notevoli del quadrangolo, studiati in [7]. Definiremo, però, in modo indipendente l’O-centro, l’H-centro e il punto J per il trapezio e dimostreremo alcune proprietà di questi punti a partire dalle nuove definizioni. Ovviamente le nostre dimostrazioni e le proprietà qui dimostrate non contraddicono la teoria generale del quadrangolo, ma nel trapezio i punti notevoli si arricchiscono di proprietà nuove, che spesso rendono la trattazione più semplice e quindi hanno suggerito una descrizione autonoma.

1.1 Baricentro

Per il trapezio, come per qualsiasi altro n-gono A = (A₁, ...A_n), un punto notevole importante è il baricentro G, definito dalla relazione vettoriale

∑_i=1ⁿ GA_i = 0. Riportiamo la proposizione 2.1 di [7]:

Proposizione 1.1 Il baricentro G di un quadrangolo A = A₁A₂A₃A₄ è l’intersezione delle tre bimediane, ed è anche il loro punto medio G = (A_ij + A_hk)/2.

Rimandiamo al paragrafo 2 di [7] per la trattazione di questo punto notevole, in quanto non presenta particolarità rispetto al caso del quadrangolo generale.

1.2 O-centro

La seguente definizione dell’O-centro di un trapezio risulta molto semplificata rispetto a quella generale del quadrangolo per effetto della seguente¹

¹ Si veda il paragrafo 6 di [7].

Proposizione 1.2 Per un trapezio A i circocentri O_i dei triangoli complementari sono i vertici di un trapezio simile ad A.

Innanzitutto dimostriamo che c’è una similitudine positiva che manda:

• A₁ → O₂
• A₂ → O₁
• A₃ → O₄
• A₄ → O₃

Per esempio, l’angolo [O₃O₂O₁] = [O₃O₂, O₂O₁] = [A₁A₄, A₄A₃] = [A₁A₄A₃] = [A₁A₂A₃].

L’ultimo passaggio è conseguenza della condizione A₁A₂ ∥ A₃A₄.

Questo vale analogamente per tutti gli altri angoli. Allora sono simili tutte le coppie di triangoli

A₁A₂A₃ ↔ O₂O₁O₄

A₁A₂A₄ ↔ O₂O₁O₃

A₁A₃A₄ ↔ O₂O₄O₃

A₂A₃A₄ ↔ O₁O₄O₃

e considerandone i lati comuni, concludiamo che la similitudine è la stessa.

Definizione: l’O-centro di un trapezio A è il centro della similitudine o(A) che manda A nel suo trapezio dei circocentri o(A) = O₂O₁O₄O₃.

Proposizione 1.3 L’O-centro è tale che [A_iOA_j] = [A_iA_jA_h] + [A_iA_jA_k].

Sia, infatti, B l’intersezione dei cerchi (A₁OA₄) e (O₄O₁O₄) diverso da O₁₄ e calcoliamo:

[A₁OA₄] = [O₄OO₁] = [O₄BO₁] = [BO₁₄O₄] + [O₄O₁₄B] =

= [A₁A₄A₁₃] + [A₁OA₄] = [A₁A₂A₄] + [A₁A₃A₄] =

= [A₁A₂A₄] + [A₁A₃A₄]

Tale proprietà, dimostrata in generale per l’O-centro di quadrangoli al 6.3 di [7], prova che la nostra definizione è compatibile con quella di [7].

1.3 H-centro

² In un articolo di M. Happach, [2], compare la seguente costruzione. Si scelga in un quadrangolo qualunque A = A₁A₂A₃A₄ una coppia di lati opposti, per esempio, A₁A₂ e A₃A₄. Allora il quadrangolo A_12,34 = A_1,2, A_2,1, A_3,4, A_4,3 è negativamente simile ad A secondo la mappa:

• A₁ → A_1,2
• A₂ → A_2,1
• A₃ → A_3,4
• A₄ → A_4,3

Scegliendo altre due coppie di lati opposti si ottengono altri due quadrangoli A_13,24 e A_14,23. Chiamiamo questi tre quadrangoli quadrangoli pedali di A. Si prova in [2] che

Proposizione 1.4 I tre quadrangoli pedali sono positivamente simili, con un comune centro di similitudine.

Si vede facilmente che questo centro di similitudine è un punto notevole di ognuno dei tre quadrangoli pedali e anche del quadrangolo A. Diamo la seguente

Definizione: il centro di similitudine dei tre quadrangoli pedali di A è il punto notevole di A che chiameremo il suo H-centro.

Ora cerchiamo altre proprietà dell’H-centro. Consideriamo i quattro triangoli pedali:

• A_1,2A_1,3A_1,4;
• A_2,1A_2,3A_2,4;
• A_3,1A_3,2A_3,4;
• A_4,1A_4,2A_4,3.

Nel R. A. Johnson, [3], teoremi 395, 396, 397, sono dimostrate le seguenti tre proposizioni, di cui riporteremo anche le semplici dimostrazioni.

Proposizione 1.5 I triangoli pedali sono positivamente simili.

² Ricordiamo qui che A_i,j indica la proiezione ortogonale di A_i sulla retta A_hA_k.

³ La dimostrazione sfrutta l’equazione di Miquel per un triangolo A₁A₂A₃A₄: sui cui lati siano stati presi i punti P₁, P₂, P₃

[A₂P₃A₂] = [A₂A₁A₃] + [P₁P₃P₂]

Allora valgono: [A_1,2A_1,3A_1,4] = [A₂A₁A₄] + [A₄A₃A₂]

[A_3,4A_3,1A_3,2] = [A₄A₃A₂] + [A₂A₁A₄]

Inoltre: [A₂A₁A₄] + [A₄A₃A₂] = [A₁A₂A₃] + [A₃A₄A₁]

e dunque anche [A_2,1A_2,4A_2,3] e [A_4,3A_4,2A_4,1] sono uguali ai due precedenti.

Proposizione 1.6 I quattro cerchi dei nove punti dei triangoli complementari, cioè A_ijA_jhA_hi, hanno in comune un punto P.

Chiameremo i cerchi dei nove punti anche nove-cerchi nel corso della trattazione. Sia P l’intersezione dei nove-cerchi di T₃ e T₂ diversa da A₂₄.

Consideriamo le seguenti equazioni sugli angoli orientati:

[A₁A₂A₄] = [A₂₄A₁₄A₁₂] = [A₂₄PA₁₂]

[A₄A₂A₃] = [A₂₃A₃₄A₄₂] = [A₂₃PA₄₂]

Sommando membro a membro otteniamo:

[A₂₃A₁₃A₁₂] = [A₁A₂A₃] + [A₁A₂A₄] + [A₄A₂A₃] = [A₂₄PA₁₂] + [A₁₂PA₂₃] = [A₂₄PA₂₃]

che dimostra che P appartiene anche al nove-cerchio di T₄. Analogamente si prova che P appartiene anche al nove-cerchio di T₂.

Proposizione 1.7 I circocerchi dei triangoli pedali considerati sopra, sono concorrenti in P, che è dunque centro delle similitudini tra i triangoli pedali.

Infatti, per esempio,

[A_2,4PA_2,1] = [A_2,1PA_2,4] + [A_2,4PA_2,4] = [A₂₃A₂₃A_2,1] + [A₂₃A₃₄A_2,1] =

= [A₁A₃, A₁A₂] + [A₂A₄, A₄A₃] = [A₂A₁A₃] + [A₂A₃A₄] =

[A_2,4A_2,3A_2,1]

Ora dimostriamo che il punto P coincide con l’H-centro del trapezio A, definito come centro delle similitudini tra i trapezi delle proiezioni (proposizione 1.4).

⁴ Allora esiste un punto P comune ai tre cerchi (A_iP_jP_h)

Proposizione 1.8 P coincide con l’H-centro di A.

Dimostriamo che H vede i lati corrispondenti dei triangoli pedali sotto lo stesso angolo. Questo è sufficiente per affermare che H è anche il centro di similitudine dei triangoli pedali e dunque coincide con P.

Sappiamo che [A_2,4HA_2,1] = [A_3,4HA_3,1], perché angoli tra vertici corrispondenti secondo la similitudine positiva che manda A_1,2, A_2,1, A_3,4, A_4,3 in A_1,3, A_2,4, A_3,1, A_4,2 rispettivamente. Inoltre [A_3,4HA_3,1] = [A_4,3HA_4,2], perché differenze degli angoli rispettivamente eguali [A_3,4HA_4,3] − [A_3,1HA_4,3] e [A_3,1HA_4,2] − [A_3,1HA_4,3].

Dunque H vede i lati corrispondenti A_2,4A_2,1, A_3,1A_3,4, A_4,2A_4,3, A_1,3A_1,2 sotto angoli eguali. In modo analogo si ottiene che H vede ogni quadrupla di lati corrispondenti dei triangoli pedali sotto angoli eguali. Allora H è il centro delle similitudini tra questi quattro triangoli, che avevamo chiamato P. Abbiamo dimostrato che H coincide con P.

⁵ Possiamo anche facilmente calcolare [A_2,4HA_2,1] in funzione degli angoli di A: −[A_1,3A_2,4A₃] = [A_4,2A_2,4A_1,3]

[A_2,4HA_2,1] = [A_2,4A_1,3, A_2,4A_3,4] = [A_2,4A_1,3A₃] + [A_2,4A₃A₄] =

= [A₄A₂A₁] + [A₁A₃A₄]

Le proposizioni precedenti provano che la definizione di H-centro qui usata è coerente con quella di [7].

1.4 N-centro

Analogamente a quanto fatto per i circocentri dei triangoli complementari.