Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione
−2x
f (x) = xe−2x.
La funzione data è definita su tutto R. Si ha che f (x) = 0 se e solo se x = 0;
R.
Soluzione.
Inoltre f (x) > 0 se e solo se x > 0. Ne segue che f (x) < 0 se e solo se x < 0.
Per quanto riguarda i limiti agli estremi del dominio si ha
lim xe−2x = 0
x→+∞
e
lim xe−2x = −∞.
x→−∞
Dunque la funzione data ha asintoto orizzontale di equazione y = 0.
Essendo prodotto di funzioni di classe C∞(R), anche f ∈ C∞(R); inoltre si ha
f′ (x) = e−2x − 2xe−2x = e−2x(1 − 2x)
da cui f′ (x) = 0 se e solo se x = 1/2.
Poi f′ (x) > 0 se e solo se x < 1/2 e f′ (x) < 0 se e solo se x > 1/2.
Ne segue che f cresce in (−∞, 1/2), e decresce in (1/2, +∞).
Allora x = 1/2 è un punto di massimo locale per f.
Viste poi le condizioni agli estremi del dominio, si ha che f deve ammettere massimo assoluto in un punto critico, e quindi x = 1/2 è anche di massimo assoluto per f.
Si ha
max f = f(1/2) = 1/(2e).
R
Quanto alla convessità di f, si ha
f″ (x) = −4e−2x + 4xe−2x = 4e−2x(x − 1)
da cui si ha che f ha un punto di flesso per x = 1; inoltre f risulta essere convessa in (1, +∞)
F
e concava in (−∞, 1).
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