studi di funzione esponenziali

2.2 Esercizio 49

Studiare la seguente funzione

2.2 Esercizio 49 Studiare la seguente funzione: 2 x−f (x) = x 1 e

Dominio

Dominio D = R

Simmetrie

Simmetrie: 2 −x −x2 − −f (−x) = (−x) 1 e = x 1 e

6f (−x) = f (x)

6 −ff (−x) = (x)

f(x) non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi

Intersezioni con gli assi: x = 0 → −1) ∈(0; f (x)−1

f (x) = y = 0 → ∈(±1; 0) f (x)2 −x 1 = 0

Segno

Segno: 2 → −f (x) ; 0 x 1; 0 → −1 ∨ f (x) > 0 x < x > 1

→ −1 ∧ f (x) < 0 x > x < 134

Limiti

Limiti: lim f (x) = +∞ x→+∞ · lim f (x) = [∞ 0] x→−∞ 2 − ∞ x 1 h i

lim f (x) = lim = −x ∞ e^x x→−∞ x→−∞

Con De L’Hopital otteniamo: 2x 2 lim f (x) = lim = lim = 0 −x −x −e e^x x→−∞ x→−∞ x→−∞

y = 0 è quindi asintoto orizzontale per la funzione.

Inoltre f (x) lim = +∞ x x→+∞ ne consegue che non ci sono asintoti obliqui.

Derivate

Derivate: Calcoliamo la derivata prima: 0 x 2 x−f (x) = 2xe + x 1 e

0 x 2 −f (x) = e x + 2x 1

Studiamone il segno: 0 2 ≥ → − ≥f (x) 0 x + 2x 1 0 √ √

0 ≥ → ≤ −1 − ∨ ≥ −1f (x) 0 x 2 x + 2

Per x compreso tra i due valori -1-rad2 e -1+rad2 la funzione è decrescente, per valori esterni è invece crescente.

Otteniamo un minimo per √−1x = + 2M IN e un massimo per √−1 − 2x = M AX 35

Derivata seconda

Derivata seconda: 00 x 2 x−f (x) = e x + 2x 1 + e (2x + 2)

00 x 2 f (x) = e x + 4x + 1

00 2 ≥ → ≥f (x) 0 x + 4x + 1 0 √ √

00 ≥ → ≤ −2 − ∨ ≥ −2f (x) 0 x 3 x + 3

Abbiamo quindi due punti di flesso: √−2 − 3x = F 1 √−2x = + 3F 2

Per valori interni la funzione è concava, per valori esterni f(x) è convessa. 36

2.3 Esercizio 50

37 38

2.4 Esercizio 51

39 40

2.5 Esercizio 52

41 42

2.6 Esercizio 53

43 44

2.7 Esercizio 54

45 46

2.8 Esercizio 55

47 48 49

2.9 Esercizio 56

50 51 52

2.10 Esercizio 57

53 54 55