Statistica - Formulario

Medie

In caso di distribuzioni di frequenza per classi di valore si ha tale formula:

Media geometrica

La media geometrica è uguale alla radice n.sima del prodotto delle N quantità date.

G = (x₁ x₂ x₃ …… x_k)^1/n

Oppure: Mo = (X₁ X₂ X₃ …… X_k)^1/n

√N 1. 2. 3… … .

Media armonica

La media armonica è uguale al reciproco della media aritmetica dei reciproci dei valori dati.

QM = n/(1/X₁ + 1/X₂ + 1/X₃ ...... + 1/X_n)

Media quadratica

La media quadratica è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei valori, divisa per il loro numero.

M = [(X₁² + X₂² + X₃² + ………. + X_n²)/N]^½

Moda

Si definisce moda quel valore o quell’attributo su cui si addensa la massima frequenza.

Se la distribuzione avviene per classi di valori la classe modale è:

Mo ≅ l₁ + (l₂ - l₁)/(∆₁ + ∆₂) ∆₁

dove l₁ e l₂ = limiti inferiori e superiori della classe di frequenza

l₂ - l₁ = intervallo della classe di frequenza

∆₁ = differenza fra la densità della classe modale e quella della classe immediatamente precedente

∆₂ = differenza fra la densità della classe modale e quella della classe immediatamente seguente

Mediana

La mediana, in una successione di valori disposti in ordine non decrescente, equivale a quel valore della successione preceduto e seguito dallo stesso numero di termini.

Se i termini sono dispari:

Md = (N + 1) / 2

Se i termini sono pari:

Md = [(N/2) + (N/2+1)] / 2

Se la distribuzione è per classi di valore:

Md ≅ l₁ + (N/2 – F_i-1) x (l₂ - l₁)/f_i

dove:

• N = totale osservazioni
• l₁ e l₂ = limiti inferiori e superiori delle classi di frequenza
• l₂ - l₁ = intervallo della classe mediana
• F_i-1 = frequenze cumulate delle classi che precedono immediatamente la classe mediana
• f_i = frequenza della classe mediana

Quartili

Data una serie non decrescente, i quartili sono quei valori che dividono la serie in 4 parti uguali.

• Il 1° quartile è quel valore preceduto dal 25% delle osservazioni e seguito dal 75% (Q₁).
• Il 2° quartile coincide con la mediana (Md = Q₂).
• Il 3° quartile è quel valore preceduto dal 75% delle osservazioni e seguito dal 25% (Q₃).

Distribuzioni di frequenza per classi di valore

Q₁ = l₁ + (N/4 – F_i-1) x (l₂ - l₁)/f_i

Q₃ = l₁ + (3N/4 – F_i-1) x (l₂ - l₁)/f_i

dove:

• l₁ e l₂ = limiti inferiori e superiori delle classi di frequenza
• l₂ - l₁ = intervallo della classe che comprende Q₁ o Q₃
• N = totale osservazioni
• F_i-1 = frequenze cumulate della classe che precede Q₁ o Q₃
• f_i = frequenza della classe che comprende Q₁ o Q₃

Centili, decili, sestili …….

Valori medi simili alla mediana.

Tali valori dividono la serie data in più frazioni (quartili, sestili, decili, centili ecc.).

La formula generale è:

Q_K/N ≅ l₁ + (K - F_i-1) x (l₂ - l₁)/f_i

dove:

• m = numero di frazioni in cui viene ripartita la serie di valori
• K = uno degli m-1 valori che dividono la serie in m frazioni uguali
• N = totale osservazioni
• l₁ e l₂ = limiti inferiori e superiori della classe che contiene il quantile
• l₂ - l₁ = intervallo della classe che comprende il quantile
• F_i-1 = frequenze cumulate della classe che precede immediatamente la classe che comprende il quantile
• f_i = frequenza della classe che comprende il quantile

Asimmetria

L’asimmetria di una distribuzione è il grado di discostamento dalla simmetria, se il grado è positivo la distribuzione si dice positivamente asimmetrica, se il risultato è negativo la distribuzione sarà negativamente asimmetrica.

As = M – Mo / S

Media aritmetica – Moda

Scostamento quadratico medio

Oppure:

As = 3(M - Md) / S

Media aritmetica – Mediana

Scostamento quadratico medio

Nelle distribuzioni di frequenza unimodali simmetriche la media aritmetica, la moda e la mediana coincidono.

Se le distribuzioni sono lievemente asimmetriche si avrà tale relazione:

M – Mo = 3(M - Md)

Se l’asimmetria è più accentuata si potrà avere:

Mo < Md < M asimmetria positiva

Oppure:

M < Md < Mo asimmetria negativa

Per misurare il grado di asimmetria si usa la seguente formula con 3 diversi quartili:

As = [(Q₃ – Q₂) – (Q₂ – Q₁)/(Q₃ – Q₂) + (Q₂ – Q₁)]

L’asimmetria in termini di momenti è:

As = q-p/σ

Curtosi

La curtosi è il grado di altezza raggiunto da una distribuzione:

• Molto alta – leptocurtica
• Normale – mesocurtica
• Molto bassa – platicurtica

Per calcolare la curtosi si adopera il quarto momento della media aritmetica:

a = m₄/s⁴ = m₄/m₂²

La distribuzione normale si dice che ha valore:

b₂ = a = 3

Di conseguenza la curtosi è anche definita dalla:

Scostamento quadratico medio

Si definisce scostamento quadratico medio, la media quadratica delle variabili scarto.

σ = [ Σ (X – M)² fx / n ]^1/2

σ = [(X –