Statistica e calcolo delle probabilità - Appunti

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di lorenzolosi94

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Appunti di Statistica e Calcolo delle Probabilità o anche denominata Elementi di Statistica e Calcolo delle Probabilità per l’esame del professore Fausto Ferrari corso di …

Esame Statistica e calcolo delle probabilità

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ferrari Fausto

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2013-2014

86 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Calcolo delle probabilità

(Cerchiamo di costruire modelli matematici ragionevoli di fenomeni aleatori)

Insieme delle parti

Se Ω è un insieme, chiamiamo insieme delle parti (o insieme potenza) di Ω il seguente insieme:

(Ω) = {A: A ⊆ Ω}

Sigma algebra

Sia Ω un insieme, sia C ⊆ (Ω) famiglia di parti dell'insieme delle parti di Ω.

Diciamo che C è una σ-algebra su Ω se C soddisfa le seguenti proprietà:

∅, Ω ∈ C
∀ A ⊆ Ω, anche A^C ∈ C (dove A^C = Ω − A)
∀ {A_i}_i∈ℕ famiglia ∈ C, anche ⋃_i A_i ∈ C e ⋂_i A_i ∈ C

Esempio

Se Ω è numerico, (Ω) è l'insieme delle parti di Ω.

Allora (Ω) è una σ-algebra, infatti:

Se Ω = {1,2,3}, (Ω) = {∅, {1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}

La cui σ-scrittura richiede 3 chiamate dello σ-calcolo.

Chiaramente, dato Ω, (Ω), si considera una σ-algebra.

Funzione di probabilità

Sia Ω un insieme, sia C una σ-algebra su Ω, sias P: C → [0,1] una funzione detta P funzione di probabilità (o probabilità) sulla C σ-algebra se soddisfa le seguenti proprietà:

Calcolo delle probabilità

(Cerchiamo di costruire modelli matematici razionali di fenomeni aleatori)

Insieme delle parti

Se Ω è un insieme, chiamiamo insieme delle parti (o insieme potenza) di Ω il seguente insieme:

P(Ω) = {A : A ⊆ Ω}

Sigma algebra

Sia Ω un insieme, sia ℂ ⊂ P(Ω) famiglia di parti dell'insieme delle parti di Ω.

Diciamo che ℂ è una σ-algebra su Ω se ℂ soddisfa le seguenti proprietà:

∅, Ω ∈ ℂ
∀ A ∈ ℂ, anche A^C ∈ ℂ (dove A^C = Ω \ A)
∀ {A_i}_i∈ℕ famiglia ∈ ℂ, anche ⋃_i A_i ∈ ℂ e ⋂_i A_i ∈ ℂ

Esempio

Se Ω è numerabile P(Ω) è l'insieme delle parti di Ω.

Allora P(Ω) è una σ-algebra, infatti:

Se Ω = {1, 2, 3}, P(Ω) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

La cui Ω è costituita 3 elementi dello σ-algebra.

Chiamiamo, dato Ω, P(Ω) e σ l'inverso dello σ-algebra (⊂ ℙ(Ω))

Funzione di probabilità

Sia Ω un insieme, sia ℂ una σ-algebra su Ω, sìa P: ℂ → [0,1] una funzione.

Diciamo che P è una funzione di probabilità (o probabilità) sulla ℂ σ-algebra se soddisfa le seguenti proprietà:

P(Ω) = 1
∀ ∑ A_k ⊆ Ω successione di elementi contenuti nella σ-algebra allora 2020 disgiunti t.c. Vj,s ∈ N, j = s, A_i ∩ A_s = ∅; P(⋃_i=1 A_i) = ∑_n=1 P(A_i)

In particolare, se abbiamo una famiglia finita di insiemi:

Se A, B ⊆ Ω; A ∩ B = ∅

Allora P(A∪B) = P(A) + P(B)

Spazio di probabilità

Sia Ω un insieme (dei possibili risultati), chiamiamo spazio di probabilità su Ω la terna (Ω, ℙ, P).

Esempio

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

P(ω) numero estratto o delle carte di Ω.

E uno σ-algebra su Ω. Definire P: P(ω) → [0,1]

P({i ≤ 3) = P costante = P(Ω) = P(⋃{A_i}) = ∑ P(A_i) = 10

P(A) = 1 / 10

A ∈ {1, 2, 3}

P(A) = P(⋃{i}) = ∑_i P({i}) = ∑_i 1 / 10 = 3 / 10

P(A) = # A / # Ω = (N / # Ω) · # A({N / # Ω}) = P

Questa distribuzione di probabilità detta probabilità uniforme Ω discreti (calcolata quindi con elementi numerabili) mentre l'intero non "trucato".

Legenda

P(ξ : X ⟩ a) si legge come "la probabilità relativa all’evento X ⟩ a"

Cardinalità di un insieme

Sia A un insieme, diremo che A ha cardinalità m ∈ ℕ, n ≥ 1, se esiste una funzione iniettiva e suriettiva (biiettiva):

f : {1, 2, 3, …, m}^1-1→ A

Indichiamo la cardinalità di A #A.

Insieme numerabile di cardinalità ℵ

Sia A un insieme, diremo che A è numerabile se esiste una funzione f : ℕ^1-1⇔ A iniettiva e suriettiva.

L'insieme dei numeri pari (2ℕ) e dei numeri dispari (2ℕ+1) è numerabile, cioè #2ℕ = #ℕ e #2ℕ+1 = #ℕ.

Infatti:

f : ℕ → 2ℕ m → 2m ammette iniettiva.

L'insieme dei numeri razionali (ℚ) è detto numerabile, cioè #ℚ = #ℕ.

Infatti:

f : ℕ → ℚ ∩ Q : {a_n∈ℕ\{0} ∃ n ∈ ℕ\{0}} = {(m, n) ∈ ℝ² m∈ℚ−ℕ∋m⁄ℕ; s∃}

Da qui si deduce l'nessere un sottinsieme del vice verso N e quindi numerabile diverso.

Q è dedu...... e Mittel è densome quanto anti-cancellativa, è sufficiente onnel ∀ x ∈ X ∃∃ s'−f'−f... 1.

L'insieme dei numeri reali (ℝ) non è numerabil

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