Statistica

Analisi dei dati per la ricerca sociale

Modelli statistici per le decisioni aziendali

Data: 4/03

Porta la calcolatrice per le esercitazioni!

Slide su Moodle.

Esame: scritto, ok formulario e tavole

Libro: Borra S., Di Ciaccio, A., “Statistica: metodologie per le scienze economiche e sociali”, McGraw-Hill

Statistica: scienza di apprendere dati

I metodi statistici servono per analizzare dati in modo oggettivo. Tale materia si divide in due categorie:

• Statistica descrittiva: si occupa di identificare e sintetizzare la tendenza e gli schemi presenti nei dati. Descrive e sintetizza le principali caratteristiche in un insieme di dati.
• Statistica inferenziale: Inferenziale deriva dal verbo inferire e aiuta a fare previsioni sulla base di evidenze e dati. Trarre, partendo da una determinata premessa o dalla constatazione di un fatto, una conseguenza, un giudizio, una conclusione. (Procedura attraverso cui dalle caratteristiche osservate di un campione si cerca di risalire a quelle della popolazione di riferimento. Un primo aspetto importante delle procedure inferenziali riguarda le modalità di estrazione del campione).

La differenza tra le due è il punto di partenza. Nella prima: si parte dall'idea che i dati da cui partiamo siano esaustivi e ciò è condiviso dal collettivo, ossia da tutta la popolazione statistica che ci interessa. Nella seconda: il punto di partenza è che non siamo in grado di osservare i dati dell'intera popolazione, perché è impossibile o perché non possiamo farlo complessivamente. Di conseguenza osserviamo una piccola porzione della popolazione → CAMPIONE. In questo caso non mi baso su una descrizione, infatti sulla base dell'osservazione posso estendere la mia analisi dal campione all'intera popolazione.

Per le due categorie esistono strumenti di analisi diversi. Per la statistica inferenziale ci si basa sul calcolo delle probabilità, essa ci aiuta a capire i fenomeni casuali (o aleatori, sinonimo) probabilità che ha un fenomeno di accadere.

Concetti base

La statistica serve per:

• Prendere decisioni (es. Le previsioni dicono che c'è una probabilità del 45% che oggi piova. Porto con me l'ombrello?)
• Analizzare un fenomeno (es. Secondo i dati del Ministero della Salute, 20 sigarette al giorno riducono di circa 4,6 anni la vita media di un giovane che inizia a fumare a 25 anni)
• Fare previsioni di un evento futuro (es. Si prevede un aumento nella vendita di notebook per il 2023).

Storicamente, la statistica deriva dal tedesco STAATS (stato). Nel 1660, il professore di diritto pubblico Ermanno Conring tenne un corso universitario denominato Staats-Kunde con il significato di descrizione sistematica degli aspetti più rilevanti di uno Stato. Nello stesso periodo, Charles Davenant la definiva come: l'arte di ragionare per numeri su argomenti relativi alla cosa.

La statistica è la scienza che si occupa di raccogliere dati e trarre da essi informazioni/conoscenza. La statistica parte dalla domanda, da qui si raccolgono i dati e successivamente vengono analizzati. La statistica si occupa di capire come questi dati possono essere utilizzati. Se i dati sono già disponibili basta analizzarli e descriverli, se non sono disponibili la statistica si occupa prima di capire come trovarli. Segue poi la fase in cui si analizzano i dati per estrarre le informazioni cercate.

Analisi statistica: fasi

• Capire quali sono gli obiettivi, quali informazioni si vogliono trarre, tradurre un'esigenza conoscitiva in modo che sia suscettibile di una risposta in termini statistici. Questo passaggio è necessario per capire la popolazione di riferimento.
• Individuare la popolazione di riferimento, ossia le unità che le appartengono. In mancanza dell’individuazione degli obiettivi e di conseguenza della popolazione, la totale analisi è compromessa.
• Definizione del piano di campionamento, è un ambito vasto, che va sotto il nome di disegno sperimentale e campionamento.
• Raccolta dei dati
• Organizzazione dei dati, ossia riordinare la massa di dati che è stata raccolta per poter poi stilare un elenco più ordinato e le informazioni possono essere sintetizzate. Si possono però sintetizzare e/o rappresentarli graficamente in funzione delle informazioni cercate.
• Elaborazione dei dati, formulare un modello per spiegare i dati osservati. Il modello potrà essere usato per confermare o smentire delle ipotesi fatte sul fenomeno e/o per previsioni su future istanze.

Terminologia elementare

Popolazione: insieme degli elementi che costituiscono l’oggetto di studio, elementi sui quali viene concentrata l’analisi. Può essere:

• Finita: il numero di elementi è finito
• Infinita: prende in considerazione tutti gli elementi potenzialmente osservabili ma non necessariamente esistenti fisicamente

Esempi di unità statistiche finite: la popolazione italiana, le aziende tessili di Reggio Emilia, …

Esempi di unità statistiche infinite: futuri acquirenti di un prodotto X, pezzi difettosi che un macchinario può produrre, …

Unità statistica: unità elementare su cui vengono osservati i caratteri oggetto di studio, in altri termini le componenti di una popolazione. Esempi: i cittadini italiani, le aziende tessili, gli studenti immatricolati in un dato anno, …

Uno studente di un liceo scientifico può far parte di diverse popolazioni, secondo il contesto in cui è osservato:

• È un elemento della popolazione di alunni della sua stessa scuola;
• Appartiene alla popolazione dei cittadini residenti a una certa data in un dato comune;
• Fa parte della popolazione dei giovani della sua stessa fascia di età.

Attenzione! Se lo studente viene osservato nel contesto delle scuole secondarie italiane, dove la sua presenza concorre a determinare il numero di alunni iscritti in un dato anno al liceo scientifico, non può più essere considerato un'unità statistica. In questo caso, infatti, le unità statistiche sono le singole scuole (popolazione di scuole), dove si rileva una caratteristica comune, cioè il numero di alunni iscritti in un certo anno.

Modalità: di un carattere statistico, sono le diverse manifestazioni che un carattere presenta sulle diverse unità statistiche. Le modalità devono essere:

• Esaustive: le modalità elencate devono comprendere tutte le possibili manifestazioni del carattere.
• Non sovrapposte: ad ogni unità si deve poter associare una sola modalità.

Caratteri statistici: sono le variabili, su ciascuna unità statistica della popolazione si osservano alcune caratteristiche. Tali sono rilevate in corrispondenza di ciascuna unità statistica che si ritiene rilevante ai fini dell’indagine. Possono essere:

1. Qualitativi: esprimibili tramite sostantivi, aggettivi, …
2. Quantitativi: esprimibili con numeri

A) I primi possono essere:

• Sconnessi: se date due sue modalità è possibile affermare soltanto se sono uguali o diversi.
• Ordinati: se date due sue modalità è possibile stabilire un ordine, affermando che una preceda l’altra.

Es. Carattere qualitativo sconnesso di una variabile: Ti è piaciuta l’ultima edizione di Sanremo? -L’ho visto e mi è piaciuto. -L’ho visto e non mi è piaciuto. -Non l’ho visto.

Es. Carattere qualitativo ordinale di una variabile: Quanto frequentemente bevi birra? -Mai. -Una volta a settimana. -Più di una volta a settimana.

B) I secondi possono essere:

• Discreti: se l’insieme delle modalità assumibili può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme dei numeri interi.
• Continui: se l’insieme delle modalità assumibili può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme di numeri reali.

Es. Carattere quantitativo discreto di una variabile: Quante volte sei stato al cinema negli ultimi tre mesi?

Es. Carattere quantittativo continuo di una variabile: temperatura esterna.

Esempi di tipo di carattere della variabile:

• Colore capelli: quantitativo sconnesso
• Titolo di studio: qualitativo ordinale
• Reddito personale: quantitativa continua
• Età: quantitativa continua
• Prefisso telefonico: qualitativa sconnessa (non ha senso fare connessioni tra le variabili)

Sistemi di rappresentazione dei dati

In base al tipo di distribuzione gestisco il mio ragionamento. I dati sono già stati raccolti e poi vengono raccolti in una matrice, essa è la matrice dei dati. Vedi es. su slide, in poche parole è una tabella, al suo interno vengono inserite e caratteristiche delle unità del collettivo statistico. Possiamo leggere la matrice dei dati sia per riga che per colonna. I dati devono essere sintetizzati, un modo per farlo è tramite le distribuzioni statistiche. Una prima sintesi avviene sulla matrice dei dati. Tre principali tipi:

• Distribuzione statistica unitaria o disaggregata: Si consideri un collettivo statistico di unità dove sia osservato il carattere X. Distribuzione statistica unitaria o disaggregata: è l’insieme delle osservazioni che possono essere rappresentata da numeri o espressioni verbali relative alle unità del collettivo. Il carattere è rappresentato da numeri se è di tipo quantitativo, se è di tipo qualitativo verrà espresso in parole. La distribuzione disaggregata viene rappresentata con: X₁, X₂, …

Dove X₁ è l’osservazione relativa all’unità identificata dal numero 1, …

Se le unità sono tante questo tipo di distribuzione non ci fornisce una buona visione d’insieme, questo tipo di distribuzione è adatta per collettivi composto da poche unità. Es. supponiamo di aver rilevato su 20 persone i caratteri: sesso, età, reddito, statura e colore degli occhi. (vedi slide.)

Distribuzione unitarie multiple: Se i caratteri sono molteplici Per ottenere una maggiore sintesi per ciascun carattere è possibile considerare la frequenza con cui le diverse modalità sono state osservate. Se la modalità si ripete possiamo fare una sintesi → distribuzione di frequenza assoluta di una modalità di un carattere il numero di volte che questa è stata osservata nel collettivo oggetto di studio.

Si definisce tale la lista delle modalità osservate accompagnata dalle rispettive frequenze assolute. Foglio dei dati: esaustività e non sovrapposizione Conto le unità che hanno le stesse modalità, costruisco una tabella con due colonne e tante righe quante sono le modalità del carattere. Nella prima colonna: modalità; nella seconda: modalità assolute. Le righe dipendono dalla quantità di modalità presenti nel collettivo. K: numero delle modalità (x₁, x₂, … x_k) N: numero di frequenze (n₁, n₂, …n_k), n₁: frequenza assoluta

È molto facile ottenere distribuzioni di frequenza assoluta per caratteri qualitativi e quantitativi discreti (con un numero e non elevate modalità). Con questa operazione non posso più risalire alla singola unità. La frequenza semplice identifica il numero di unità statistiche che presentano quella modalità. Nella tabella in esempio: 4 modalità (4 colori), x₁ (occhi neri) 7 (modalità del carattere osservato sulle unità)

Esempio frequenza di reddito: è in ordine crescente, il numero di modalità è elevato e dunque non è sintetico. Solitamente per i caratteri quantitativi continui (o anche discreti con alto numero di modalità) facciamo un’operazione preliminare suddivisione in classi. Si costruiscono degli intervalli di valori che serviranno per sintetizzare la distribuzione di frequenza.

La scelta delle classi è arbitraria, ma va fatto presente che:

• Nessuna classe deve essere vuota
• Le classi devono essere contigue (no intervalli mancanti tra le classi), disgiunte (no ambiguità nel collocare l’unità statistica) ed esaustive (devono contemplare tutte le manifestazioni che si possono osservare nel collettivo in esame).

In caso di caratteri continui, affinché le classi siano contigue e disgiunte un estremo deve essere compreso in un intervallo e l’altro estremo in un altro. Ognuna delle determinazioni osservate dal carattere deve essere compresa in una sola classe. Notazione: esempi: (x_i;x_i+1] ; [x_i;x_i+1)

• Devono avere possibilmente la stessa ampiezza
• Il numero di classi deve essere tale da consentire un’adeguata sintesi dei dati senza comportare un’eccessiva perdita di informazioni (equilibrio tra perdita di info e necessità di sintesi).

Esempio distribuzione del reddito: [0;1) n_j: 6 Se osservo il valore 0 l’unità la inserisco in questa classe, se osservo il valore 1 l’unità è nella classe successiva. No stesso valore in due classi Ampiezza della classe: sottrazione tra estremo superiore ed estremo inferiore. Nell’esempio tutte ampiezza 1: 1-0; 2-1, …

Se è un carattere quantitativo discreto (solo numeri interi) l’ampiezza della classe rappresenta il numero di modalità distinte che ricadono all’interno della classe. Carattere continuo: può assumere qualsiasi valore all’interno dell’intervallo. Quando ho classi di ampiezza diversa devo pensare alla densità della frequenza. Le densità di frequenza fanno capire quanto di addensano le unità all’interno della classe (il grado di addensamento di esse) Densità di una classe = frequenza assoluta di X sull’intervallo: lunghezza di intervallo

Distinzione tra carattere quantitativo discreto e continuo della densità

• Discreto: valore distinto all’interno della classe.
• Continuo: quante sono le unità statistiche presenti nell’intervallo della classe

Parentesi [ . ] estremo incluso; parentesi ( . ) estremo escluso dall’intervallo, Ipotesi di base: in ogni classe la distribuzione delle unità dovrebbe essere omogenea (uniforme distribuzione delle unità). Per ciascun intervallo unitario possiamo contare un n. di unità. La densità ci dice il numero atteso di unità statistiche per ogni unità di misura della variabile. Ampiezza di classe del carattere quantitativo continuo: quantità di intervalli presenti nella classe. Nell’esempio sono 6: il primo 12-13; secondo 13-14, …

Esempio età: [12;18): nel primo intervallo 12-13 anni posso imputare 0,33 unità statistiche. Da 13-14 anni posso imputare 0,33 statistiche, … Esistono anche raggruppamenti in classe per caratteri qualitativi ma non ne parleremo durante il corso.

Frequenze relative

Dividendo una frequenza assoluta per il numero totale di unità statistiche (n nel nostro caso) otteniamo le cosiddette frequenze relative (f_j), ovvero: frequenze relative = frequenze assolute/numero totale di osservazioni Ossia: f_j=n_j/n (con numero tot di osservazioni mi riferisco alla grandezza del collettivo).

Con l’operazione per trovare le frequenze relative sto togliendo l’influenza della grandezza del collettivo dalla mia osservazione. Quindi il numero sarà più “puro” e si potranno fare confronti, infatti le frequenze relative hanno il vantaggio, rispetto alle frequenze assolute, di permettere di confrontare le distribuzioni di due o più collettivi (con numerosità diversa). Se il collettivo ha un numero ridotto anche la sua frequenza assoluta sarà più piccola. La numerosità del collettivo è la somma di tutte le frequenze assolute. L’ostacolo delle frequenze assolute è che non consentono di confrontare uno stesso carattere su due collettivi di numerosità diversa. Ovviamente le frequenze relative saranno comprese tra 0 e 1 ed espresse in numeri decimali (la loro somma quindi essere).

Esempio: numero di esami in un a.a. in due collettivi, questo mi serve perché posso fare il confronto, ad esempio se prendo in considerazione gli studenti che hanno fatto tre esami nel primo collettivo sono maggiori rispetto al secondo. I numeri puri si usano anche per fare confronti di probabilità e con numeri puri si intendono numeri non influenzati dalla dimensione del collettivo.

Frequenze cumulate assolute

La frequenza assoluta (relativa) cumulata per la modalità/classe x_j è la somma delle frequenze assolute (relative) per le modalità/classi ≤ x_j N_j = n₁+...+n_j (F_j =f₁+...+f_j)

Quindi, la prima frequenza cumulata sarà pari alla prima frequenza assoluta di quella modalità; la seconda frequenza cumulata sarà uguale alla frequenza assoluta della prima modalità + la frequenza assoluta della seconda modalità. Quindi la prima frequenza cumulata sarà uguale alla prima frequenza assoluta e l’ultima frequenza cumulata sarà uguale alla dimensione del collettivo.

N.B.: Ha senso calcolarle se il carattere è almeno ordinale, ossia quando esiste un ordine naturale delle modalità. Non ha dunque senso calcolare la frequenza cumulata per caratteri qualitativi sconnessi. Esempio: numero libri letti (carattere quantitativo discreto) La tabella si legge: 27 persone nel collettivo hanno letto al massimo 7 libri, non meno di 7 e non di più. Se invece parliamo di frequenze cumulate relative, possiamo dire che la prima frequenza cumulata relativa è pari alla prima frequenza relativa mentre l’ultima sarà pari a 1. In questo caso non ha senso sommare tutte le frequenze relative per ottenere un totale.