Statica - Flessione uniforme, teoria, esercizi

10. Travi elastiche inflesse

Dopo aver esaminato il comportamento di travi sollecitate assialmente (N ≠ 0, M = T = 0) da forze assiali q_z(z), si procede alla trattazione del caso di travi sollecitate trasversalmente (N = 0, M ≠ 0, T ≠ 0) da forze ortogonali all'asse q_y(z).

Si considera inizialmente il caso di una trave a sezione e materiale uniforme (che non variano nella lunghezza) soggetta a momento flettente uniforme. L'esperimento che può realizzare tale condizione è quello riportato in figura. Inoltre la sezione è simmetrica rispetto all'asse y (piano y-z).

Nel tratto AB la trave è sollecitata esclusivamente a momento M = Pa. Si assume che la forza P sia di entità limitata come verrà illustrato nel seguito.

Travi sollecitate trasversalmente

10. Travi elastiche inflesse Dopo aver esaminato il comportamento di travi sollecitate assialmente (N ≠ 0, M = T = 0) da forze assiali q_z(z), si procede alla trattazione del caso di travi sollecitate trasversalmente (N = 0, M ≠ 0, T ≠ 0) da forze ortogonali all'asse q_y(z).

Si considera inizialmente il caso di una trave a sezione e materiale uniforme (che non cambiano nella lunghezza) soggetta a momento flettente uniforme; l'esperimento che può realizzare tale condizione è quello riportato in figura. Inoltre la sezione è simmetrica rispetto all'asse y (piano x-y-z).

Nel tratto AB la trave è sollecitata esclusivamente a momento M = Pa. Si assume che la forza P sia di entità limitata come verrà illustrato nel seguito.

Le forze applicate determinano una deformazione della trave detta inflessione. Poiché N = 0 la trave conserva la lunghezza L.

Raggio di curvatura e deformata

Ricordando che la linea d'asse rappresenta la trave solida (3D), la deformata della porzione AB risulta descritta da un arco di circonferenza (si osservi che la porzione AB si può considerare perfettamente piana se si applichino agli estremi le sollecitazioni M).

Misurando sperimentalmente la rotazione α di ciascun estremo, che sono uguali per simmetria, risulta che l'arco di circonferenza che rappresenta la deformata è sotteso da un angolo 2α.

Il raggio R di tale arco è denominato raggio di curvatura; inoltre si definisce la curvatura χ = 1/R. Dalla geometria la lunghezza dell'arco è L = R ∙ 2α.

Si osserva che χ = 1/R = 2α/R ∙ 2α = 2/L = 2α/L.

Durante l'esperimento ad ogni valore del momento M corrisponde un valore della curvatura χ, pertanto si può rappresentare nel diagramma (χ, M) o (α, M).

Figura 1

Figura 2

Rigidezza flessionale

Lontani da condizioni di snervamento/rottura del materiale la risposta M-α, M-χ risulta reversibile: riducendo M fino ad annullarsi si annulla anche α e χ. Inoltre la risposta sperimentale evidenzia linearità: M = K_φ α, M = K_x χ.

Tuttavia, se si effettuano due esperimenti con travi di eguale materiale e sezione, ma differente lunghezza (l₂ > l₁) si osserva che a parità di momento M α₂ > α₁. La rigidezza rotazionale K_φ dipende dalla lunghezza.

Viceversa per entrambe le travi rimane invariata la rigidezza flessionale K_x (figura 2). Poiché tale rigidezza non dipende dalla lunghezza delle travi viene analizzata nel seguito.

La rigidezza flessionale K_x dipende dalla forma della sezione e dal materiale costituente la trave. Per esaminare tale dipendenza si considera un tratto infinitesimo dell'arco di trave inferiore sotteso da un arco infinitesimo d_φ.

Configurazione deformata

Poiché N = 0 la linea d'asse L non varia la propria lunghezza a seguito dell'inflessione. Viceversa, il segmento ab si accorcia e quello a'b' si allunga. Nel seguito segmenti paralleli all'asse della trave verranno denominati fibre.

Configurazione indeformata (a)

Configurazione deformata (b)

Poiché la linea d'asse non varia lunghezza C'D' = dz.

Lo spostamento del punto D → D' è misurato da (dz - d_ξ) e da d_η.

Dalla trigonometria d_η = R - R cos(d_φ), d_ξ = R sin(d_φ), dz = R d_ρ, che pone dη = R [1 - cos (dz_eR])], dξ = R sin (dz_eR).

Essendo scelto dz infinitesimo e R grande (si escludono grandi inflessioni) cos (dz_eR) ≈ 1 e sin (dz_eR) ≈ dz_eR da cui dη ≈ 0, dξ ≈ R dz_R = dz.

Se si assume che le sezioni si mantengano piane dopo la deformazione, la deformazione della porzione infinitesima di trave è rappresentata