Statica - Flessione non uniforme, teoria, esercizi

11. Flessione non uniforme - Momento flettente variabile

Si considera il caso più generale di momento flettente variabile lungo l'asse della trave (cui si accompagna il taglio essendo dM/dz + c = T).

Lo studio della deformabilità di travi o sistemi di travi inflessi ha due finalità:

(1) Determinazione di spostamenti prodotti da forze applicate meccanico nel progetto per controllare la deformabilità della struttura v < vmax. ≈ 1/500 ÷ 1/1000 l

(2) Soluzione di travi e travature iperstatiche (che non possono essere risolte con le sole equazioni di equilibrio)

Reazioni?

Sollecitazioni?

Spostamenti?

Si rende necessario generalizzare quanto trattato nel capitolo 10: con una formulazione basata su equazioni di compatibilità, di equilibrio e costitutive.

11. Flessione non uniforme - Momento flettente variabile

Si considera il caso più generale di momento flettente variabile lungo l'asse delle travi.

Lo studio della deformabilità di travi o sistemi di travi inflessi ha due finalità:

(1) Determinazione di spostamenti prodotti da forze applicate necessario nel progetto per controllare la deformabilità delle strutture v < vammis ≈ ¹⁄₅₀₀ ÷ ¹⁄₁₀₀₀ ℓ

(2) Soluzione di travi e travature iperstatiche (che non possono essere risolte con le sole equazioni di equilibrio)

Reazioni?

Sollecitazioni?

Spostamenti?

Si rende necessario generalizzare quanto trattato nel capitolo 10: con una formulazione basata su equazioni di compatibilità, di equilibrio e costitutive.

Flessione non uniforme

Deformazione di una Stato iniziale - configurazione indeformata

Stato finale - forze applicate - configurazione deformata

Le linee d'asse della trave (Lo nello stato iniziale) si deformano in L (non varia la propria lunghezza). La sezione S si abbassa sulla verticale e lo spostamento, inflessione viene indicato con v(z).

Inoltre la sezione ruota di una quantità φ(z) - rotazione delle sezioni.

Come già introdotto in procedura è comune che la sezione rimanga rettilinea - conservazione delle sezioni piane e ortogonale alla linea d’asse L nella configurazione deformata.

Ne risulta che v(z) misura lo spostamento di L rispetto a L_o e φ(z) la rotazione della tangente a L in z rispetto all’orizzontale (L_o).

a) Descrizioni dello spostamento v(z) e φ(z)

Per le ipotesi fatte la tangente t_g a L in z è individuata a meno del segno della derivata dv(z)/dz

tan φ(z) = -dV(z)/dz

Poiché le strutture devono essere sufficientemente rigide si assume v_max ≪ ℓ/500 e φ_max ≪ 1/500 ossia che spostamenti e rotazioni siano piccoli.

In questo caso tan φ(z) ≈ φ(z) e quindi

φ(z) = -dV(z)/dz

che evidenzia come nelle ipotesi fatte la sola variabile di spostamento indipendente è l’inflessione v(z).

In questo caso la linea L si deforma con curvatura variabile nella trave.

Consideriamo una piccola porzione (infinitesima) di trave nell'intorno (destra) della sezione S, la cui deformazione è illustrata:

Nell’intorno di S la linea è un arco di circonferenza di raggio di curvatura R e apertura dφ. Pertanto ds = R dφ.

Ricordando la definizione di curvatura

χ = ₁/_R = _dφ/_ds

ds² = √(dz² + dv²) = √(1 + (_dv/_dz)²) dz²

si osserva che nell'ipotesi di piccole rotazioni ⇒ ds = dz √(1 + (_dv/_dz)²) ≈ 1

e quindi risulta la definizione di curvatura

X = dφ/dz

Poiché nelle ipotesi effettuate φ′ = -d²/dz risulta anche

X = -d²/dz

Tali equazioni prendono il nome di equazioni di compatibilità o congruenza.

Si ottiene così una descrizione delle deformazioni nell’intorno di ciascun sezioni z.

Note

(1) L’inflessione (z) si determina la curvatura X = -d²/_dz

(2) La curvatura X(z) si determina la rotazione (dφ = Xdz)

φ(z) = φ(o) + ∫₀^z dφ/dz = φ(o) + ∫₀^z X(z′)dz′

e quindi l’inflessione (d = -φdz)

v(z) = v(o) + ∫₀^z d/dz² dz¹ = v(o) - ∫₀^z φ(z′)dz′.

Equazione costitutiva dell’elemento infinitesimo di trave

Si utilizza il risultato del Capitolo 10 con E(z) e J_x(z)