Stabilità e analisi del moto per quadrature

Integrare una forza possibile

Quando integro una forza possibile, posso utilizzare R(c(t)) per cercare certi dati iniziali.]

Punti di equilibrio

Dico che Req è un punto di equilibrio per x se e solo se punti critici. gR(c0)₀ R(c0)(t) = (Req) punto fermo!

Stabilità alla Lyapunov dei punti di equilibrio

Un punto di equilibrio è stabile con tutti vicini a Req produce Chesi. Innaouguo vicini Ʌεo d ʆε a t.c. per (R(c0), R(c0)) E Is c Is={R,V} t.c. IR-ReqZc X R(t) E t.C (RC(t),)E ʆΝE t.o

Req è instabile quando non è stabile.

Ʌεo t.c. Ʌ ʆε E (R(c0),R(c0)) E Is t.c. (RC(t), RC(t)) Ese

Come capire se un punto è stabile o instabile

• Se Req è minimo stretto di U E stabile
• Se Req è massimo Sessa mai, deve pure unstable

Un dice che Ny = 0 (non qui) pows cli non vicini a Req, U da raggio S, aluna nel tempo, pwo neestonvicin a Req iu un instore di neostarrira Δ₈

Teorema da Dirichet di salabte lyneare

Se Req e un un un minimo locale stretto di U => Reg stabile.

Se Req e un massimo mai deve pure di sella nesc, evere (neasono) di U {}

Ricorda che l’mesurone: (Reg) 3SUPPU

Qualora integrare non fosse possibile

Qualora integrare non fosse possibile, posso analizzare R(t) per certi dati iniziali.

Punti di equilibrio

Dico che Req è un punto di equilibrio per (x) se sono punti critici di Se (R(0), Ṙ(0)) = {Req, 0} ⇒ Ṙ(t) = Req mi resto fermo!

Stabilità alla Lyapunov dei pt equilibrio

Un pt di equilibrio è stabile se dati ∀η > 0, l'orbita di Req produce una propria orbita vichiata che rimango vicino per sempre al vicino x.

∀ε > 1 δ > 0, t.c. per {R(0), Ṙ(0)} ∈ Is, Iε⊆ Iδ Iδ = {R(t), t.c. |R-Req|_i, ≤ δ |Ṙ| < δ } ⇒ R(t) e t.c. Iε(R(t)), Ṙ(t)) ≤ (∀ε, ∀t > 0

Req è instabile quando non è stabile ∃ε > 0, t.c., ∀δ ≤ ε, ∃ (R(0), Ṙ(0)) ∈ Iδ, t.c. (R(t), Ṙ(t)) esce da Iε in tempo finito.

Per capire se un punto è stabile o instabile

• Se Req è minimo stretto di U ⇒ stabile
• Se Req è massimo stretto ma degenere ⇒ instabile

Un ciclo che non si resse in un vicinal a Req, Se un ciclo di raggio lessa ora nel tempo puro nella sua vicina ad Req, in parametro del punto di Req e un intorno di per ripetere δ.

Teorema di Dirichlet di stabilità lineare

Se Req e è un minimo locale stretto di U ⇒ eq stabile.

Se Req è un massimo stretto di un punto di sella ma degenere (Hessiano ≤ 0) di U ⇒ eq instabile.

Ricorda che l'Hessiano: (H_d)_i,j = ∂²U/∂Ṙi∂Ṙj (Req)

Ho mai degenere 3 autovalore ≤ 0.

Se una matrice reale e simmetrica => autovalutate base ortonormale di autovettori V₁, ..., Vₙ t.c. V = Σ λⱼ Vⱼv(Vⱼ) = δⱼ e autovalori λ₁, ..., λn ∈ R.

Significa che il max e i min possano essere degenere; l’importante è che la sella abbia almeno 1 (.

Dimostrazione

Dim: Per assurdo, sia R autovalore Xeq mai degenere.

Definiamo W(R, V) = 1/2 V·MV + U(R) - U(Req).

Per costruzione, W(Rₑq, 0) = 0 ed W ≤ 0 in un intorno di (Req, 0) [W(R, V) R ∈ J* dove J* e t.c. un intorno di Req t.c. U(B*), Û(Req). perchè Reg e un minimo.

NOTA: Wr e continua.

W(R, V) > 0 per (R, V) = (Req, 0)_Iₑ(W > 0 W ≤ 0 (Req, 0)→ tutto i punti su Iₑ sono > εₑ

Nota che per la continuità di W in (Req, 0), ∀ εs-e t.c. max W ∃ (Rₙ, Vₜ) ∈ Iₑ ovvero trovo un fronte di raggio d’entro tal quale l’energia ε.

Per la ca. serv. dell’energia, i dati i iniziali in Iₑ sono t.c. W(Rₒ(t), V(t)) ≤ ε /2 V≥0 => => non può esistere una taropa per cui > εₑ => non è instabile è stabile.

Dim. dell’instabilità

Dim. dell’instabilità (3 >=2 R??) Xeq max mai degenere = t.c. U‴(xeq) = 0 U‴(xeq) taylor dimostrare che dati in un vicin a (x_eq,0) onda da I_e ad un tempo finito.

Per farlo, l'eventuale problema, si studia con taylor μ(x) approssimazione lineare per √x μẋ = -U’(x_eq) - √(x_eq) + R₂ (x; x_eq) dove |R₂ (x; x_eq)| ≤ K |x