Spazi funzionali

Spazi funzionali

Corso di Matematica per la Fisica, a.a. 2021/2022, Università degli studi Milano Bicocca

Indice

• 1 Richiami sugli spazi topologici 4
• 1.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1.2 Spazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.3 Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 2 Spazi di Banach 8
• 3 Spazio L^pω (r) 10
• 3.1 Spazio L¹ (r)ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 3.2 Spazio L^pω (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 4 Spazi di Hilbert 13
• 4.1 Basi su uno spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 4.2 Spazi di Hilbert ∞-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 5 Polinomi 21
• 5.1 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 5.2 Polinomi di Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 5.3 Polinomi di Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 6 Distribuzioni 26
• 6.1 Funzioni test - caso singola variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 6.1.1 Spazio D(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 6.1.2 Spazio S(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 6.2 Distribuzioni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 6.3 Distribuzioni singolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 6.3.1 Delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 6.3.2 Principal value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 6.3.3 Altre regolarizzazioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 6.4 Limiti di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 6.5 Derivata di distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• 6.6 Cambio variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 7 Trasformata di Fourier 33
• 7.1 Proprietà della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 7.2 Derivata e moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 7.3 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 7.4 Trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• 7.5 Trasformata in e L² (R) S(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 7.6 Trasformata di Fourier di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 7.7 Trasformata di Fourier di segnali periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 8 Trasformata di Laplace 43
• 8.1 Proprietà trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 8.2 Formula di inversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 9 Operatori lineari su spazi finito-dimensionali 47
• 9.1 Spazi duali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 9.2 Operatori aggiunti (finito-dimensionali) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 9.3 Operatori autoaggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 9.4 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 10 Teoria spettrale (caso finito-dimensionale) 51
• 10.1 Teorema spettrale per operatori Hermitiani (A† = A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
• 10.2 Teorema spettrale per operatori unitari (U† U = U U† = I) . . . . . . . . . . . . . . 54
• 11 Funzioni di operatori 55
• 12 Operatori lineari su spazi infinito-dimensionali 56
• 12.1 Operatore di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 12.2 Operatore di moltiplicazione Q su L² (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 12.3 Operatori non limitati su spazi normati x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 12.4 Operatori chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 12.5 Operatori su spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 12.6 Spazio duale X∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 12.7 Operatore aggiunto (A limitato e continuo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 12.8 Aggiunto di operatore non limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 12.9 Operatori autoaggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 12.10 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 13 Teoria spettrale (caso infinito-dimensionale) 64
• 13.1 Spettro discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 13.2 Spettro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
• 13.3 Spettro di operatore autoaggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
• 13.4 Spettro di operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
• 13.5 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti in L² (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
• 13.6 Operatore di moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2 Ricordo che questo documento è frutto di una riscrittura di appunti presi in aula, di conseguenza ciò non li rende privi di errori o di piccoli refusi. Spero possano esserti utili :) Annalisa Amigoni 3

1 Richiami sugli spazi topologici

1.1 Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale su un campo F (per esempio R o C) è un insieme di vettori con due operazioni:

• Somma: V × V → V, ∀ x, y ∈ V, x + y ∈ V.
• Prodotto per scalare: F × V → V, λ ∈ F, x ∈ V, λx ∈ V.

• Commutativa: x + y = y + x.
• Associativa: (x + y) + z = x + (y + z).
• Unità, 0: x + 0 = 0 + x = x.
• Inverso, −x: x + (−x) = 0.
• ∀ λ ∈ F, λ(γx) = (λγ) x ∀ λ, γ ∈ F; ∀ x ∈ V.
• λ(x + y) = λx + λy.
• Unità, 1: x · 1 = 1 · x = x.

Se abbiamo uno spazio vettoriale F = R reale; se abbiamo uno spazio vettoriale F = C complesso.

Definizione: W ⊂ V è un sottospazio vettoriale di V se è chiuso sotto somma e moltiplicazione; per x, y ∈ W, α, β ∈ F allora deve valere αx + βy ∈ W.

Definizione: n vettori u_k ∈ V sono linearmente indipendenti se: ∑_k=1ⁿ α_k u_k = 0 ⇒ α_k = 0 per k = 1, . . . , n. Se invece si ha che ∑_k=1ⁿ β_k u_k = 0 per qualche β_k ̸ 0 ⇒ gli u_k sono linearmente dipendenti.

Definizione: u_k è un set massimale di vettori linearmente indipendenti se ogni set che contiene u_k è linearmente indipendente. Se u_k è un set massimale allora è una base di V e posso espandere v ∈ V come v = ∑_k a_ku_k, dove a_k ∈ F sono le coordinate di v sulla base di V.

Il numero di elementi di una base indica la dimensione di V. 4

Esempio: Rⁿ, dim Rⁿ = n; Cⁿ, dim Cⁿ = n; dim_R Cⁿ = 2n.

Su R² una base è 10 01 e sottospazi di R² → R.

Su C una base è 1, i dove z = x · 1 + y · i, dove x, y sono le coordinate di z sulla base scelta di C. Re z Im z.

Gli spazi di funzioni sono esempi di spazi vettoriali.

Esempio: X = C [a, b] spazio delle funzioni continue sull’intervallo [a,b]. Verifichiamo che si tratta di uno spazio vettoriale:

• Dati f, g ∈ X allora f + g ∈ X infatti la somma di funzioni continue è ancora continua.
• Allora f ∈ X, λ ∈ C, λ f ∈ X infatti se moltiplico una funzione continua per un numero complesso è ancora continua.

Dim X = ∞ (contiene tutti i polinomi).

1.2 Spazi normati

Spazi vettoriali dotati di norma.

Definizione - Norma V −→ [0, ∞) norma di x: x ∈ V −→ ∥x∥ tale che:

• Positività: ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0.
• ∥λx∥ = |λ| · ∥x∥, λ ∈ F.
• Disuguaglianza triangolare: ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.

Esempio: su Rⁿ con coordinate x = (x₁, . . . , x_n) ∥x∥ = √(x₁² + x₂² + x₃² + · · · + x_n²).

Su Cⁿ con coordinate z = (z₁, . . . , z_n) ∥z∥ = √(|z₁|² + |z₂|² + · · · + |z_n|²).

La norma definisce una distanza d(x, y) = ∥x − y∥ che soddisfa:

• d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ V. 5
• d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
• d(x, y) = d(y, x).
• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Usando la norma usiamo le definizioni in R per definire i concetti di limite, convergenza, etc. (V, R⁺→R).

Definizione: la successione x_n di elementi di V (spazio vettoriale) converge a x ∈ V (x_n −→ x va inteso nel senso della norma, ovvero ∥x_n − x∥ −→ 0) cioè ∀ ϵ > 0 ∃ N t.c. ∀ n > N, ∥x_n − x∥ < ϵ.

Con la norma possiamo definire aperti, chiusi...

Definizione: intorno sferico, un di raggio r, di x₀ di V: B(x₀, r) = {x ∈ V, ∥x − x₀∥ < r} aperto.

Definizione: S ⊂ V è aperto se ∀ x ∈ S ∃ B(x, r) contenuto in S.

Definizione: F ⊂ V è chiuso se il suo complemento è aperto.

Teorema 1 F ⊂ V è chiuso se ∀ {x_n} ∈ F t.c. x_n → x ∈ V, x ∈ F. F contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Definizione: si definisce chiusura di U (aperto), Ū, il più piccolo chiuso che contiene U.

Definizione: U è denso in X se Ū = X.

Ovvero: ogni intorno di x ∈ X contiene un elemento di U; ogni elemento x ∈ X è limite di una successione {u_n} di elementi di U.

Definizione: K è compatto (in uno spazio normato) se è chiuso e limitato. Se lo spazio è finito dimensionale vale il viceversa.

La norma ci permette di definire la continuità.

Definizione: f : V → W, V, W spazi normati, è continua in E ⊂ V se x_n → x in E implica f (x_n) → f (x) in W (va inteso nel senso della norma), cioè: ∀ ϵ > 0 vale che ∥f (x_n) − f (x)∥_W < ϵ, ovvero se f (x_n) ∈ B(f (x), ϵ) ovvero x_n ∈ {x | ∥x_n − x∥_V < δ} = B(x, δ) cioè f è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto in W è un aperto in V.

f continua mappa aperti in aperti.

La norma non è unica! 6

Esempio: su R², ∥x, y∥: √(x² + y²), |x| + |y|, Max{|x|, |y|}. Intorni sferici: B(x₀, ϵ) = {x ∈ R² | ∥x − x₀∥ < ϵ}. Sono tutti aperti equivalenti che definiscono la stessa topologia.

Esempio: C(K) funzioni continue su un compatto K, è uno spazio vettoriale di dimensione infinita su cui possiamo prendere varie norme. Per esempio possiamo usare lo sup-norma: ∥f ∥_sup = sup_x∈K |f (x)|.

Esso definisce la convergenza uniforme: si dice che f_n → f uniformemente in K se: sup_x∈K |f_n(x) − f (x)| −→ 0 per n→∞, ovvero dato ϵ > 0, ∃ n₀ t.c. se n > n₀, sup_x∈K |f_n(x) − f (x)| < ϵ.

Posso anche usare la norma L¹ (vedremo in seguito) se k = [a, b]: ∥f ∥_L1 = ∫_a^b |f (x)| dx, norma 1.

Lo sup-norma e la convergenza uniforme compaiono nel teorema di Weierstrass: ogni funzione f ∈ C[a, b] si può approssimare uniformemente attraverso i polinomi P_n. Ovvero ∀ f ∈ C[a, b] posso trovare P_n t.c. P_n → f cioè ∥P_n − f∥_uniforme = sup_x∈[a,b] |P_n(x) − f (x)| → 0; ⇒ l’insieme dei polinomi è denso in [a,b].

1.3 Successioni di Cauchy

Sono successioni che "quasi" convergono.

{x_n} è di Cauchy se ∀ ϵ > 0 ∃ n₀ t.c. ∀ n, m > n₀, ∥x_n − x_m∥ < ϵ. 7

Tutte le successioni convergenti sono di Cauchy ⇒ se vale il viceversa allora lo spazio è completo ⇐.

Uno spazio X è completo se le successioni di Cauchy x_n ∈ X convergono a elementi di X.

Se le successioni di Cauchy convergono ad elementi che non sono in X, allora X ha dei "buchi" cioè non è completo.

√ 1/2 successione di numeri razionali di Cauchy che tende a numero reale (frazione) cioè non razionale: 1 + ∑_k=0^∞ 1/2^k = (1 + 1) + 1/2 + 1/8 + 1/16 + ... = 11P2.

Lo spazio dei razionali Q non è completo perché posso trovare successioni di elementi di Q di Cauchy che convergono ad elementi non in Q come √2.

⇒ Q ha dei buchi: numeri razionali reali; Q non è completo ma si può completare a R. Rⁿ, Cⁿ sono completi.

2 Spazi di Banach

Definizione: uno spazio di Banach è uno spazio vettoriale, normato e completo.

La completezza dipende dalla norma, poiché la definizione di completezza dipende dalla convergenza delle successioni di Cauchy. La convergenza è definita nel senso della norma.

Rⁿ, Cⁿ sono completi con norma euclidea; C(K) è completo con la sup-norma.

Esempio: C [a,b] spazio delle funzioni continue su [a,b] è completo se ∥f ∥ = sup_x∈[a,b] f (x), ma se ∥f ∥ = ∫_a^b |f |= dx non è completo; infatti abbiamo costruito una successione di Cauchy che converge ad una funzione discontinua possiamo trovare uno spazio che si chiama L¹(Ω) che è completo con norma L¹, il quale contiene funzioni discontinue.

Riemann: ∫_a^b f = ∑_i=1ⁿ f (x_i) (x_i+1 − x_i) nel limite di partizioni sempre più fini; partizioni del dominio [a,b].

Lebesgue: partizione del range di f: E_i = f⁻¹ (y_i, y_i+1) = {x ∈ [a, b] | y_i ≤ f (x) ≤ y_i+1}. Se f è misurabile gli E_i sono misurabili, µ(E_i). ∫_a^b f = ∑_i y_iµ(E_i) nel limite di partizioni sempre più fini. 8

Teorema 2 Convergenza monotona

Data f_k, successione di funzioni misurabili t.c. f_k(x) ≤ f_k+1(x) (monotona) e che converge puntualmente a f (x), ovvero lim_k→∞ f_k(x) = f (x) ∀ x ∈ X, allora: lim_k→∞ ∫_X f_k(x)dµ = ∫_X f (x)dµ può essere infinito.

Teorema 3 Convergenza dominata

Sia f_k, successione di funzioni misurabili che converge puntualmente a f (x), ovvero lim_k→∞ f_k(x) = f (x) ∀ x ∈ X, e che è dominata con |f_k(x)| ≤ g(x) ∀ x ∈ X con ∫_X |g(x)| dµ < ∞, allora: lim_k→∞ ∫_X f_k(x)dµ = ∫_X f (x)dµ < ∞.

Teorema 4 Fubini

Data f misurabile su X × Y se vale ∫_X×Y |f (x, y)| dµ_xdµ_y < ∞ oppure: ∫_X ∫_Y |f (x, y)| dµ_xdµ_y < ∞ oppure ∫_Y ∫_X |f (x, y)| dµ_ydµ_x < ∞.

Allora: ∫_X×Y dµ_xdµ_y f (x, y) = ∫_X ∫_Y dµ_xdµ_y f (x, y) = ∫_Y ∫_X dµ_ydµ_x f (x, y). Vale anche per scambiare serie e integrali.

Teorema 5 Fubini per serie e integrali

Data f_n con ∑_n=1^∞ ∫_X |f_n| < ∞, ∫_X ∑_n=1^∞ |f_n| < ∞, allora: ∫_X ∑_n=1^∞ f_n = ∑_n=1^∞ ∫_X f_n.

Set di misura nulla la