Matematica per la fisica - spazi funzionali

Spazi funzionali

Sapa2022IBle in dainmodo modousateestendere suspazi euclidei poterleastrattodefvoglianoancheusare codimensionaliperspazidel F è 2 aisienecon chiusosu operazioniPeja un un rispettocampof dello vettorielemento spazioE VE VTticiò E fdi2 di scolarielementimoltiplicazione di EVKEEVDEF Èdi è d neutroassociativavettori commutativasonno e inversoodefsulè distributiva conprodottodidiritti dà DEFno neutroelemento prodottoe unesempio Rf realese ventospf a un complessodegWer di se scolarimoltipisoma echiuso perrisp asottospaziodel Eh kantise ancon chek no reiimplicalivettori ma i.in sonocon anni LIse con artooinvece sonoqualchedel Edi èvelt.LI piùdetto semeseun ogni me ununinsieme contieneinsiemel'Daltro èvettorein qualsiasiEun è diVchiamata Deseesempio diIR è 1base e 0,0canonica Ila 0,1lo 1en EVridata base inoss coordin componentiuna scrivere qualsiasi opossoEventiE NEFcon dileè basise hanno vettoriio finiton o tuttepuò finito nuesseredimensioneesempioPiendimdiaChen E andingesempiodi a dimensionalisp spfinzionidei reali dellavar realecolfinsieme secompl complepolinomicondizioni 12 diè dellevettoriali cheastratti strutturespaziSugli definirepermettonopossibileaggiungere lughezzalimite in mododistanza astrattocontinuitàdel 19di fa7 le bendistanza proprietàmetrica cono mappedid'ab b adla abb adio sala.dkdidlab b CEMcdeltuo lett è metricometricadove è mounasp definire sppossibileesempio dd6 lain estendo Hermitianaeuclidea conpigliadit Elà NiNiconedef diX XdiEdi cheè una xinsieme o devestessoun eecollezione sottoinsiemi contieneTopologiaesteretniuso diaddi unioniarbitrariofinitorisp intersez meroa mero eun unTOEcioè XE EVi ViET Avan NU E TVaVa tt a fruito aoconGli di teden sono apertiinsiemigliosservazionela èmicatopol nonth laèes apertiinsiemisu deglitopolog ViEIR IAxvi teT EVi la seteE7 E oanchene definireposso 3340 R la 1 KEIRt ao 2è inl'intern 0,1 non aperto usandoè metricaintuitivometrici introdurrespsugli ma topologdel di EMiper centrata liesferao aaperta raggioI DEMI dlaBlair b edel BiaoIX fa nicXèapertaM Xse Esottoinsiemeogniosservazione labastadefinireè tramitemetrico ballssp deglisp apertiogni mo topologia opentopologicodel ilm èsuose compl apertoinsieme chiusoosservazione di limitedi dimetricaesistenza unadefinire successioneme permettetopologiE In teand teso KninEEM dlan.ated seaconvergeIR dlaninlimitei ooppure plugserieOss parzialicorn somecon succ It iii dipt più insiemechiusosuoiinsieme chiuso contiene accumulazione piccolounoss che è sì dichiusuracontiene detto sesedef E_YYin lainZ è fuso se suainsieme chiusuradel ELu k Ckin and heX adepatoinsieme sp mametricomo soca sottosoccogniKdielementounaconvergedef f YiDX diX tra laèma due apertosecontinuaspazi ognimappa topologici controimagineIssoteso te disedille sE nofisco sesfereaperteILLIdel tetre dite kn.msCowley senteeteso haEsens o sine senè di in metricoogni spsoca mocauchyconvergdimostrazioned 3Ex Inden dlsen.se datodlsem.se tee chesen sema oeconvergedlsen.nl kn.msEseate valesia chestessonano per com eper osed EEsen E Esendel diinempietà lecuisalience sonosuccessionispazio Cauchy convergenti

Normatispazi

del V AIRIlè Vdi 11Enorma chevettorialevettore sp una mappa soddisfaunF AdEVE Inecoe ritiriIlEllIl o1 unsopositività 0edrillIl I il1112 IÙ3 WII NEIdiso thrillEtriangdel vet nome sesp normataconcorollario dire litidatonomoto tillè iosp menemicosp definireuno posso E èLa line ilsinormato Opuò usarein mo spconverg noesempio 19 allIsellenormatoinsieme risplHillIISo Gvlittle E traiviinoseusati fdalla topologiametricaapertigli sonoB Iii nè tillrdi Iiidisco centrato2 raggioBalù latomequadrato centrato ar ela ilSono stessama esattamentedifferenti definisceperché quadratodefiniscono ognitopologialochecontenutocerchio contieneodelIzis tra normati biunivocaèsp una mappaIlIlaf Il Y Ilyx lala cioèshutche normaLineare epreservadì tuit DIIl tufluiE dEXNillaJuilly EfKiaIl µeesempio dimkciel cuiGunz di sudelle a definiresucontinue mettspun possiamoinsieme compattola norma superioreIlflop IsbellIfaosservazionetramite Il llsupdefin.it di uniformeconcetto convergenzadel flatI iii CalIn ogn Ernaso griglia 0oss maDuniforme puntualeesempio CtrlLuz ciCoisucontinue RcompattoIl Il ll'all2definiamo nome sup sorse loeLi defilIl Ilsenona 1 Il Il llsi dimostra che 111co uconvergconverg gialleIflatIlfIlSi glida fgli Stearevede gheo supsup attof gliIl spiiEf glicioè aoleHa la In2 nonsononome considero siccequivalentiÈcalcoliamoIl ILfalli da Ilàa i L_I tent tanta noninveceha l'Indo Intel 1 1là intsenoo dono 4Inoltre distanzaconcetto dianche kèflat 0 set aoaog a da FetteflatgialliIl einvece ogiIII

SpazaiBaach

vent enormato completospazio IlClkIR IlLuz di conBanachsocontinue sonosp supcompatto 11 operadef di èinterno suo vettorialescovare unauno complessospazio mappaprodotto TVTab aù illeiùche soddisfa diii dici KAMEri mirini1 tuttlinearità Luiè.ci sonhermiticità asimetria2 là il èilE3 Positività ed0 Osola 2 nelanti 10argonlinearitàimplicaosservazione I irtiai turisti ìlètidel èmo di hilbertvett dettodotato presp suonareprodotto VIVIIIIIè sidatonormatosp puòchemoosservazione scuoledefinireil làildi iii là riadisla eSchwarzscalare soddisfaproddimostrazione io Iii0del ieritracid tepeprendiamo Arg angololi diiDalla di3di abbianocond n sopositivitàinviiciò EEECutiei pma psignifica0 intrisivini viri haMadato che eArgInte Iiipacea III Otapè datol'alto luiche avsuna concavitàconparabola so perquindi potera pdevo avereintersecare origineA 12lì ci iscrittiE eog ac

Spazi finitoHilbertdi dimensionali

11 2022amdelSpetilbet didotato prodscalarevettorialesp completoeesempi EIR iii iteuclideosp vienianimie ririhermitianaspdel iindue sevettesono Oortogonaliosservazione LI2 infattisevetteortogonalisono piùilalèlìdi BriaiBù ahasi oO lìlo hostesso Bfaccio eper o ov'toutinBùdi è realtàquindiosservazione citdem kijdi Siggli base sonouna ortonormale nÈ EvrenSi rièha 1 uninoltre conùù cei.itE2 vnwalà eIoni diKrill identità3 ParsevalEosservazione It èdi base ortonormaleHilbertsp dimensionale costruirefinito unaOgni apossibilesemprebasedapartire qualsiasidimostrazione ii di iiDatodi SmithGran puòscriveresi in comeriferimentoortogonalizz genericoreni1è èIIII ptv anparte eè tile tintesi_èquindi e conprocededefiniamo Ittin utileK leitineril vettore conesimodefinire comeposso gg

Spazi di infinitohilbert dimensionali

Ci denso contabilecioème èhanno meseparabiliconcentriamo sp insugli sottoinsiemeKENEèil 3 di it èset in HilbertcheDiciamo uno uninfinitodimensionalecon sistemaspaziolei è ENSi Kijseortonormale FIri viè è v1ti tese visi vieinoltre puòscrivere conil Ectsallora èsistema un'tudou.FI di Hilbertse èelementila ciòdibaseabbiano usando possibilea perchéosserva nozionegeneralizzato di limiteabbiano la nozioneÈ ètu Vinon E ci è illa vi11o Ousando norma piudel FiE è dirtsuffer viè ichiamata sonoèl'espansione coeffLingdidetti Fouriercoeffteorema Ela 1SÈci diserie aai converge convergedimostrazionema la dellesaneserie consideriamosucc parzialiseconvergeconvergeÈ È tailè Ynsei dihasimanper ÌnEl diEni fiè lsei Eriil laitIl aieset diaie Eni Inai suleggila di certoè Inèsen Cowaysuccquindi H èDato diche è suacompleto Caucusogni convergosservazionenel dimensionalecaso finitocome iotiè1 oci E KEEH112 INK EtàìnKristi ev3 hasi un1esempio E Edi 12nFnevi tali coend chesuccessioni unocon spesse formanocomplessi EEdi EniilHibert suonarecon weprod 4 4l il ditale è limitesu nsichiama Intuitivamente anperdimostrazione cheper l 4 devemostrare è vettoriale averemo spKainedi Khin Euni ee e eler IaiaIbl1h14lobi e a 4Mose eusando È Elvil twitInvituwil allaha lui ioesi anti 1è Linearche lineareabbiamo vettorialeuno spazioquindi argomentoseguefacilmenteil benfaccio chevedere èprodscalare definitoÈÈ IriSI daIii bdovein latoE Witwiwi I iiè elèl nila elhachevale siMa linearità sevisto cheperE lEvLui l è 3che è èseQuesto perché ri rihaallora si coL co oil scal è ben definito eprod converge È Etna3 3 lfar èmevedere Ecompleto consideroDevo E IEkllà lIlÈdato che kikEnne se sokn KENEnel di Eè u conCauchyE Etna3laDatoche Kontua persucccompleto convergelà 11Eè noans ha lesie quando codefiniamo eintu datoz chenonnaquindi aconvergee EffettiÈ lEl diQuindi èla esucc Candy sonocon completopercio Fiil11e è sisp può definirecompleto perché2esempio IfPUR tolPiù 4 eIsene o pE1in Pacogli con cospazi a fissatogenerale didotati Banachdisolamente norma quindisonosono sposservazioneSi perledilautilizzando Minkowskipuò dimostrare seriedisuguegÈ P PIIEilsen unlantyn3esempio lIR 4 dio Banach die dagli limitate dotatisonospari normaesp formati success supIsen asupaneto 2senper esempio 11 E benan311lacon nonna supne a mamil di è sudidimensdiscalare sotipico diHilbertsp coprod quello funzioniesempio unbintervallo a conflatgirldaII gla E invistarientranorma già categoriaquesta ledi intdi diTuttavia nei diff Riemannvediamo sueentrareprima conedettagli integrale LebesgueISei diRien lal'int è Gentènilgià no quandolime è integaggjgiti.scitifugifittongpazionema nausea sensulla Xmisura suoIl diè la ècruciale controche unintervallo intervallonecessarianonimmaginepunto un4esempio Talalla 1911sto Ita 10,1I delnonriemannLeb OI Xa 9.0 IRècioè nulla SiLI 1

Spazio 2022120PaCIR

adi 1su oSpazio con normadefinite insiemefunzioni IntegrabiliLebesgueIIII daw18121 ose finitaTisurali 11 diBanachsono spquesti spaziosservazione LLo Iflada whalesbidelle cioècontinue intervalloso conaun normesp funzionidi èè Banach nonnon completo Clabdi fatafut dice filabi siIntelConsideriamo sue cheuna continuefunzionisuccte I tenonon osequando daalIfnIlli unJbel E noIgn Ela Sise iconsideriamo isuccma iii le1Efalse o se i1e kal11k1 EAExla Ltradist della èdue normamembri insuccess alloradila è k.casefalse cosuccessione perchéquindi Cauchyfa IlIl f E lail lafa setuttavia oratilimite fa i segose C4,1 C 4,1feltè C1,1 èflat sune nonnon continua qundi completopertantoLin normaosservazione Li diSe 1 laBanach dissia dobbiamome linearità positività triangolarevoglio provareL'unella normala dala disLin si mostranoe facilmente integraliproprtriangIl la&