Somme di potenze degli interi positivi consecutivi

Somme di potenze degli interi positivi consecutivi

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Guido Carolla

Sunto. Si presenta un programma in QBasic ed alcuni esempi con input e output:

esso, fra l’altro ci mostra come sia possibile risolvere l’interessante problema di calcolo numerico relativo alla somma delle potenze dei numeri positivi consecutivi,

SR, TR e (SR-TR), a partire dall’unità e rispettivamente fino ad N e ad M e loro differenza, per mezzo di particolari algoritmi, fino alle potenze con esponente R<=4.

Esso utilizza anche la serie con i primi cinque numeri di Bernoulli per il medesimo calcolo, nel caso di un qualunque R positivo. Inoltre il programma suddetto utilizza un’altra serie con i coefficienti binomiali di Newton. Infine, i risultati di cui sopra vengono raffrontati con quelli reali, ottenuti molto semplicemente con un ciclo FOR-NEXT.

Abstract

The Author presents a QBasic programme and some examples with data inputs and outputs: among other things, it shows how we can solve the calculus problem about the sum of powers of positive consecutive numbers, SR, TR and (SR-TR), from the unity and respectively to N and to M and to their difference, thanks to special algorithms, to the powers with exponent R<=4.

It makes also use of the series with the first five Bernoulli numbers for this calculus, in the case of any positive R. Moreover the afore-mentioned programme uses another series with Newton binomial coefficients. Finally, the related outputs are put in comparison with the real ones, easily calculated with a FOR-NEXT loop.

Algoritmi utilizzati nel listato

Si riportano alcuni casi particolari delle somme di potenze degli interi positivi, cioè di

+ + + +

r r r r che, per i valori di r da 1 a 4, sono:

...

1 2 3 n

( ) ( ) ( ) ( )

+ + + + +

n n 1 n n 1 2 n 1 n n 1 n n 1

⋅ ⋅

per r=1 ; per r=2 ; per r=3 ;

2 2 3 2 2

( ) + + −

+ 2

2

n 1 3 3

n 1

n n 1 n 2

⋅ ⋅

per r=4 ; la serie con i numeri di Bernoulli utilizzata é

3 5

2

+ − −

− −

r 1 r 1 r 3

1 r r ( r 1 )( r 2 )

n B n B n

+ + − + 2

1 2 , nella quale la somma termina con

r ... n

n

+

r 1 2 2

! 4

!

oppure con n, secondo che r sia pari o dispari e sono i numeri di Bernoulli, i cui

B k

1 Docente di Matematica in ogni ordine di Scuola e Preside di Istituti superiori a r. Piazza Mazzini n. 24 73100 Lecce

tel. 0832/317045; cell. 3474632979; e-mail: guidocarolla@libero.it 2 4 6

x x B x B x B x

2 = − + − + − < π

1 2 3

I numeri di Bernoulli sono definiti dalla serie: con

, , ,... 1 ... x 2

B B B

1 2 3 −

x 1 2 2 ! 4 ! 6 !

e

2 4 6

x x B x B x B x

+ + +

− = < π

1 2 3 con

...

1 cot x

2

! 4

! 6 !

2 2

primi cinque sono riportati nel listato e nei quattro esempi in output; infine, si riporta la serie con i coefficienti binomiali, (con r, n interi positivi) e quindi se

+ + +

     

r 1 r 1 r 1 ( ) ( )

+

+ + + +

=   +   + +   = + − +

r 1

r r r r , allora si ha .

... ... n 1 n 1

     

1 2 3 n

S S S S

r 1 2 r

     

1 2 r

Listato del programma in QBasic

CLS : PRINT "Il programma CALCOLA, con particolari algoritmi, SR che è la SOMMA delle potenze R.sime dei numeri naturali consecutivi, fino ad N, di quelle fino ad M (TR) e la loro differenza, cioè delle somme fino ad N diminuite di quelle