Geometria delle somme di potenze di interi consecutivi

Geometria delle somme di potenze di interi consecutivi

Articolo dello stesso Autore, pubblicato sul volume 92 n. 525 di The Mathematical Gazette del Novembre 2008

Stefano Costa

stefano.costa74@virgilio.it mhdeĩs ‚gewmètrhtos eÊÓ

tw

Viene presentato un approccio alla somma di potenze di interi consecutivi, in forma di relazione ricorsiva:

n n 1

X m

k = S (n) = m S (x) dx + 1 − m S (x) dx n (1)

m m−1 m−1

0 0

k=1

Ricavai questa formula parecchi anni or sono, ma allora ero interessato a qualcosa di computazionalmente efficiente, e dal momento che essa non lo è per nulla la chiusi in un cassetto. L’ho ritrovata per caso sei mesi fa; ho fatto qualche ricerca in letteratura e sul web, ma non sono stato in grado di trovare alcunché di simile. La formula è di facile lettura, e permette di fare a meno di polinomi di Bernoulli, coefficienti binomiali o funzioni di Riemann, profondamente connessi alle somme di potenze ma di certo meno usuali. Per di più, essa fa luce sulla struttura geometrica soggiacente: le costruzioni che si trovano alla fine dell’articolo possono essere comprese anche senza integrali, e potrebbero essere impiegate per un’introduzione non analitica alla materia.

Approcci standard al problema

Facciamo innanzitutto una veloce carrellata di alcuni approcci “standard” al problema dell’espansione di S (n) come funzione esplicita di n e m. In ultima essenza, si tratta di trovare un polinomio di ordine m + 1 (Shultz, 1980)

m+1

X j

P (x) = c x

j

j=0

tale che P (n) = S (n). Questo si può ottenere, banalmente, come soluzione di un ben definito sistema lineare di m + 2 equazioni in m + 2 incognite (i c ), ma

m

nk=1 nk=0

m m

P P

osservando che k = k , vale ∀ m ≥ 1

0 1

X X

m m

k = 0 e k = 1

k=0 k=0

1 2

e cioè Siamo pertanto sicuri che c = 0 e

ogni polinomio assume i valori 0 e 1. 0

P c = 1, ed alla fine si rimane con il seguente sistema di m + 1 equazioni in

j

m + 1 incognite: j · (c ) = (S (i)) i, j = 1, . . . , m + 1

a = i j m

ij

del quale un semplice esempio per m = 2 è:

 

 

 

1 1 1 1

c 1 1 1

1

2 4 8 = , c = , c =

· 5 =⇒ c =

c 2 3

1

2

 

 

  6 2 3

3 9 27 14

c 3

La forma chiusa di Faulhaber

La famosa forma chiusa di Faulhaber (Academia 1631), qui esposta

Algebræ,

con notazione algebrica moderna (Conway and Guy, 1996)

m

n

1 m +1

X

X m+1−j

m B (n)

k = j

j

(m + 1) j=0

k=1

ove B (x) sono i polinomi di Bernoulli, offre naturalmente una prospettiva più profonda, portandoci tuttavia ben distanti da un contesto di soli numeri interi.

Sistemi per ricavare i c come (Guo and Qi, 1999)

j

m+1

i

X i−p+1 c = δ p = 0, 1, . . . , m

(−1) i p,m

p

i=p+1

sono computazionalmente efficienti, ma ancora più involuti.