Sommario Analisi II

Serie numeriche (somma di quantità reali)

Il comportamento della serie dipende dal limite della successione delle somme. \( S = (S_n) \)

\[\lim_{{n \to \infty}} S_n \begin{cases} = S & \text{Convergente con somma } S \\ \infty, -\infty & \text{Divergente (} s_n \ngtr 0 \text{ per } n \to \infty )\\ \text{Indeterminata, oscillante} \end{cases}\]

Criterio necessario alla convergenza

Se \( S_n \) converge allora \( \lim_{{n \to \infty}} a_n = 0 \) (l'estremo n-esimo infinitesimo per \( n \to \infty \) ).

Condizione necessaria ma non sufficiente!

Serie geometrica di ragione \( x \in \mathbb{R} \)

\[\sum_{{n = 0}}^{\infty} x^n \]

\( a_{n + 1} = x^{n+1} \) da \( n \in \mathbb{N} \) allora

\[ S_n = \sum_{{n=0}}^{\infty} x^n \]

\[\lim_{{n \to \infty}} S_n = \begin{cases} \frac{1}{1-x} & \text{ se } |x| 1 \quad \text{la serie diverge per } \sum_{{n=0}}^{\infty} x^n = \infty \\ 1 - x^n = 1 & \text{ se } x = 1 \quad \text{la serie è indeterminata} \end{cases}\]

Serie di Hengou (serie telescopica)

\[ \sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \]

Riscriviamo la serie come

\[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} \]

\[\lim_{{n \to \infty}} S_n = \lim_{{n \to \infty}} (1 - \frac{1}{n+1}) = 1 \]

Convergente con somma 1

Serie armonica

\[\sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{1}{n} \]

\[\begin{cases} \text{Converge se } a_n \\\text{Diverge se } a_n \end{cases} \]

Proprietà

Serie somma

\[ \sum_{{n=1}}^{\infty} (a_n + b_n) \]

Aritmeticamente convergenti

\[ \lim_{{n \to \infty}} |a_n| \le \min(a,b) + i \quad \lim_{{n \to \infty}} b_n + i \quad \text{allora } \sum_{{n=1}}^{\infty} (a_n + b_n) = s + t \]

Serie moltiplicazione per scalare

Se

\[\sum_{{n=1}}^{\infty} a_n \quad \text{convergente} \]

\[ \lim_{{n \to \infty}} a_n = \pm \sum_{{n=1}}^{\infty} a_n \]

Convergente \( a \) allora

\[ \lambda \sum_{{n=1}}^{\infty} a_n \]

Se \(\sum_{{n=1}}^{\infty} a_n\) converge allora \(\lambda_1 a_n\) converge

\[ \text{Diverge pos se } x_0 \\ \text{Diverge neg, o } x_0 \]

E viceversa

Serie numeriche

Il comportamento della serie dipende dal limite della successione delle somme (S_n).

lim S_n = S -> Convergente con somma pari a S.

lim S_n = +∞ -> Divergente (p. g. a +∞).

Oscillante.

Indeterminata, oscillante.

Criterio necessario alla convergenza

Se Σa_n converge allora lim a_n = 0 (le somme possono andare a ∞).

Condizione necessaria ma non sufficiente.

Serie geometrica di ragione x∈ℝ

a + ax + ax² + ... + ax^n-1 con a≠0.

Σa_n = a (1 - xⁿ) / (1 - x) per x ≠ 1.

lim S_n = a/(1 - x).

• Se |x| 1, la serie diverge.
• Se |x| = 1, la serie è indeterminata.

Serie di Mengoli (serie telescopica)

Σ 1/n(n+1) = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Convergente con somma 1.

Serie armonica

Σ 1/nΚ Converge se p > 1.

Diverge se p ≤ 1.

Proprietà

Serie somma

Σ(a_n + b_n) converge.

Convergenti.

lim a_n = S.

lim b_n = t.

Serie moltiplicazione per scalare α∈ℝ

Σα a_n = α.

Convergente.

lim a_n = S.

Convergente a λα.

Diverge.

• Pos. se λ > 0.
• Neg. se λ < 0.

Serie a termini positivi

∑_n=0^∞ a_n a_n > 0.

La serie può solo converge o divergere positivamente.

Criteri

Criterio del confronto

Criterio del confronto: ∑_n=0^∞ a_n e ∑_n=0^∞ b_n a termini positivi.

b_n ≥ a_n ≥ 0 ∀n a partire da N₀.

Se un a_n ≤ A_n, allora n≥N si ha:

• Se ∑_n=0^∞ b_n converge allora anche ∑_n=0^∞ a_n converge.
• Se ∑_n=0^∞ a_n diverge positivamente allora anche ∑_n=0^∞ b_n diverge positivamente.

Vale il caso analogo con ∑_n=0^∞ a_n minore di ∑_n=0^∞ b_n.

Criterio del confronto asintotico

Criterio del confronto asintotico: Se ∑_n=0^∞ a_n e ∑_n=0^∞ b_n a termini positivi ed esiste finito e non nullo lim _n→∞ a_n/b_n.

Le due serie hanno