Sistemi lineari Parte IV

Vettori linearmente indipendenti e basi

Il punto ⁴ e ⁵ ci dicono che se, ad esempio, siamo in ℝ³ devo avere un massimo di 3 vettori, altrimenti il sistema risulta non essere linearmente indipendente.

Esempio 1

ℝ²

e₁ = (1, 0)

e₂ = (0, 1)

e₂ = 1/2 (e₁)

(0, 1) = 1/2 (1, 0)

B = {e₁, e₂}

Due vettori risultano non essere dipendenti e quindi non proporzionali!

Linearmente indipendenti.

〈B〉 = {αe₁ + βe₂ | α, β ∈ ℝ } =

Chiusura lineare = { (α, 0) + (0, β) | α, β ∈ ℝ } == { (α + 0, 0 + β) | α, β ∈ ℝ } == { (α + β) | α, β ∈ ℝ }

L'insieme ci dà quindi il vettore generale (α, β) dalla sua chiusura lineare, questa ci dice che la chiusura lineare ci fornisce tutti i vettori che ∈ ℝ², quindi è un sistema di generatori.

B è una base.

Trovata una base ne troviamo infinite basta moltiplicare i vettori della base con scalari diversi da zero (attenzione!! non bisogna fare la chiusura lineare ma semplicemente moltiplicare per scalari diversi da zero), se si moltiplicano per scalari uguali a zero perdono l'indipendenza.

A/G 19 02/10/2017

I punti ⁴ e ⁵ ci dicono che se ad esempio stiamo in ³ devo avere un massimo di 3 vettori, altrimenti il sistema risulta non essere linearmente indipendente.

Esempio 1

²e₁ = (1,0) e₂ = (0,1) B = { e₁ , e₂ }

e₂ = 1/2 (e₁) (0,1) = 1/2 (1,0) → i due vettori risultano non essere dipendenti e quindi non proporzionali!

Linearmente indipendenti

(B) = {e₁ +e₂ |,∈ℝ;} = = {(,0) + (0,) |,∈ℝ;} = = {(+0,0+) |,∈ℝ;} = = {(+) |,∈ℝ;}

L'insieme ei dà quindi il vettore generale (,) detta sua chiusura lineare, questa ci dice che la chiusura lineare ci fornisce tutti i vettori che ∈ ², quindi è un sistema di generatori.

B è una base.

Trovata una base ne troviamo infinite basta moltiplicare i vettori della base con scalari diversi da zero (attenzione!! non bisogna fare la chiusura lineare ma semplicemente moltiplicare per scalari diversi da zero), se si moltiplicano per scalari uguali a zero perdono l'indipendenza.

A/G 19 02/10/2017

Esempio 2

ℝ³

e₁ = (1, 0, 0)

e₂ = (0, 1, 0)

e₃ = (0, 0, 1)

B₃ = {e₁, e₂, e₃}

α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + r (0, 0, 1) = 0

(α, 0, 0) + (0, β, 0) + (0, 0, r) = 0

α = 0

β = 0

r = 0

Linearmente indipendenti

L(B) = { (x, y, z) | x, y, z ∈ ℝ }

B è una base

Info!!

I vettori unitari e₁, e₂, e₃ ... e_n danno sempre una base detta base naturale (B_N)

Esercizi svolti

Esercizio 1

ℝ³

S = { (0, 1, 0) , (2, 0, -1) , (0, 0, 1) }

X il punto 4 e 5 a pagina 18 sappiamo che

Sono indipendenti

Verifica

α (0, 1, 0) + β (2, 0, -1) + γ (0, 0, 1) = 0

(0 α, 0 α) + (2β, 0, -β) + (0, 0, γ) = 0

2β = 0   β = 0

α = 0   α = 0

γ - β = 0   γ = 0

∴ α = 0, β = 0, γ = 0

→ x = 0

→ x = 0

Sono indipendenti

Per il punto 2 e 3 a pagina 18 sappiamo che

Sono generatori

Verifica

α (0, 1, 0) + β (2, 0, -1) + γ (0, 0, 1) = (a, b, c)

(0 α, 0 α) + (2β, 0, -β) + (0, 0, γ) = (a, b, c)

2β = d     β = a/2

α = b     α = b

γ - c - d/2     γ = c + d/2

Se è una base di ℝ³

Esercizio 2

ℝ³

T = { (-1, 1, 0) , (2, -2, 0) , (1, 1, -1) , (1, 1, 0) }

Per il punto 4 e 5 a pagina 18 sappiamo che sono

Dipendenti

Verifica

α(-1, 1, 0) + β(2, -2, 0) + γ(1, 1, -1) + δ(1, 1, 0) = 0

(-α, α, 0) + (2β, -2β, 0) + (γ, γ, -γ) + (δ, δ, 0)

α + 2β + f + δ = 0

-α = 2β + γ + δ = 0

α + 2β + γ + δ = 0

… alipendenti

Essendo dipendenti creiamo un sistema T' a partire dal sistema T, che avrà solamente i vettori indipendenti fra loro

T = { (1, 1, 0), (2, -2, 0), (1, 1, -1), (-1, 1, 0) }

Controllo di w₁

w₁ - Controlliamo il primo vettore rispetto a sé stesso, questo risulterà essere sempre indipendente

w₁ = 0

Affinché ciò sia vero devo verificarlo.

w₁ = 0 sappiamo non essere vero perché (-1, 1, 0) quindi 1 ≠ 0. Questo conferma che w₁1 è indipendente

È indipendente, quindi lo aggiungiamo a T'.

T' = { (1, 1, 0), ... }

Controllo di w₂

w₂ - Controlliamo se w₂ è dipendente rispetto a w₁.

(2, -2, 0) = n (1, 1, 0)

(2, -2, 0) = (n, n, 0) n = 2 → n = -2 n = -2

w₂ dipende da w₁, quindi non lo aggiungiamo a T'.

Controllo di w₃

w₃ - Controlliamo se è dipendente da w₁.

(1, 1, -1) = n (1, 1, 0)

(1, 1, -1) = (n, n, 0) n = 1 → n = -1 n = 1 → impossibile

w₃ è indipendente da w₁, quindi lo aggiungiamo a T'.

A/C 99 22/10/2017

T^-1 = { (-1,1,0), (1,1,-1), ... }

Controllo di w₄

w₄ - Controlliamo se è indipendente da w₁ e w₃

α(-1,1,0) + β(1,1,-1) + γ(1,1,0) = 0

(-α, α, 0) + (β, β, -β) + (γ, γ, 0) = 0

Possiamo anche dire:

Controlliamo se w₄ appartiene alla chiusura lineare di w₁ w₃

L( {w₁, w₃} )

α+β+γ=0 ----> γ+0+γ=0

α+β+γ=0 ----> γ+0=-γ

-β=0 ----> β=0

w₄ è linearmente indipendente quindi lo aggiungiamo a T^*

ℝ³

T^-1, w₁, w₃, w₄

T^* = {(-1,1,0), (1,1,-1), (1,1,0)}

T^* è un sistema di vettori linea monta i moldipendenti.

• T^* ⊂ T - sistema di generatori che ha perso l'indipendenza
• Vettori indipendenti - sistema di generatori

T^* è una base

Esercizio 3

X = {X₁ (-1,0,1), X₂ (0,1,1) X₃ (-1,-2,-1), X₄ (0,-2,-2) }

ℝ³

Siamo in ℝ³ questo sistema è formato da 4 vettori, quindi questi saranno sicuramente dipendenti.

Cerchiamo quindi di trovare un insieme X^* che contenga solo i vettori indipendenti fra loro

X₁ è linearmente indipendente (vedi esercizio 2). Lo aggiungiamo a X^*

X^* = {X, ... }

A/G 23 02/10/2017