Sistemi lineari, Parte II

Proprietà distributiva (per somma e prodotto)

a(x+y) = ax + ay

L'insieme dove tutte queste proprietà sono soddisfatte è detto campo.

Insieme è solo la struttura.

Campo è la struttura con le operazioni algebriche.

R campo dei numeri reali.

Q campo dei numeri razionali.

N non è un campo.

No non è un campo.

Z non è un campo.

Operazioni con campi

R x R = {(x, y) | x, y ∈ R} = R²

R x R x R = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R} = R³

R x R x ... x R = {(x₁, x₂, ..., x_m) | ... }

m volte - n-upla ordinata di numeri reali.

x = (x₁, x₂, ..., x_m)

Vettore numerico reale di ordine m.

Componenti del vettore.

Esempio

Ragioniamo in R².

(1,0) + (-2,-5)

Operazione: +

Rappresentiamo l'operazione indicandola in questo modo poiché si ha due vettori.

(1,0) + (-2,-5) = (-1, -5)

I componenti del vettore somma si ottengono sommando algebricamente i componenti dei primi vettori.

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Proprietà distributiva (per somma e prodotto)

a (x + y) = ax + ay

L'insieme dove tutte queste proprietà sono soddisfatte si è detto campo.

Insieme è solo la struttura.

Il campo è la struttura con le operazioni algebriche.

ℝ campo dei numeri reali.

ℚ campo dei numeri razionali.

ℕ₀ non è un campo, manca l'elemento neutro detto somma, infatti nell'insieme in mancanza lo telo.

ℤ non è un campo, anche se c'è l'elemento somma negativo infatti non si soddisfa l'ultima proprietà della somma, infatti non ci sono i numeri negativi.

Operazioni con campi

ℝ x ℝ = { (x,y) | x,y ∈ ℝ } = ℝ²

ℝ x ℝ x ℝ = { (x,y,z) | x,y,z ∈ ℝ } = ℝ³

ℝ x ℝ ... ℝ = { (x₁, x₂ ... x_m) | x₁, x₂... x_m ∈ ℝ } = ℝ^m

x = (x₁, x₂ ... x_m) vettore numerico reale di ordine m.

Esempio

Ragioniamo in ℝ².

(1,0) + (-2,-5)

Operazione: +

Si ottengono sommando algebricamente i componenti dei primi vettori.

Nota bene: operazione somma vedi pagina dopo.

(1,0) + (-2,-5) = (-1,-5)

(X + Y) = (X₁ + Y₁, X₂ + Y₂, X₃ + 3, ..., X_n/m)

X ⊕ Y = Y ⊕ X - - - - - - - - -> per la proprietà commutativa.

Proprietà dell'operazione ⊖ (prodotto) fra due vettori

h : R^M x R → R^M

h ⊖ x - - -> h ⊖ x = (h x₁, h x₂, h x₃, ..., h x_m)

• 1 - Proprietà commutativa

(a ⊖ b) ⊖ x = a ⊖ (b ⊖ x)

• 2 - Elemento neutro

1 ⊖ x = x ∀ x ∈ R^M

• 3 - Proprietà distributiva

(a + b) ⊖ x = (a ⊖ x) ⊕ (b ⊖ x)

• 4 - d ⊖ (X ⊕ Y) = d ⊖ X ⊕ d ⊖ Y ∀ a ∈ R ∀ x, y ∈ R^M

Proprietà dell'operazione ⊕ (somma) fra due vettori

• 1 - Proprietà commutativa

X ⊕ Y = Y ⊕ X ∀ x, y ∈ R^M

• 2 - Proprietà associativa

(X ⊕ Y) ⊕ Z = X ⊕ (Y ⊕ Z) ∀ x, y, z ∈ R^M

• 3 - Elemento neutro

O ⊕ X = X

O = (0,0,0, ..., 0) ∈ R^M

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• 4 - Esiste l'opposto

Se x = (x₁, x₂, x₃, ... x_m) esiste l'opposto -x = (-x₁, -x₂, -x₃, ... -x_m).

L'operazione ⊕ ha x e -x.

x + (-x) = o → elemento neutro.

Un insieme dove è possibile effettuare operazione ⊕ e o si imolica (R^m o, o).

Spazio vettoriale numerico reale M-dimensionale.

Per trovare l'opposto basta applicare quest'operazione -1 () R³.

x = (2, -1, 4)

-1 ⊗ x = -1 ⊗ (2, -1, 4)

-x = (-2, 1, -4)

d ⊗ x = o → x = o → d = o

Vettori unitari

R²

o = (0, 0)

e₁ = (1, 0)

e₂ = (0, 1)

R³

o = (0, 0, 0)

e₁ = (1, 0, 0)

e₂ = (0, 1, 0)

e₃ = (0, 0, 1)

R^m

e₁ = (1, 0, 0 ... 0)

e_m = (0, 0, ... 1)

Ragioniamolo in R^m.

x, y ∈ R^m si dicono proporzionali se ∃ h ∈ R | x = h y.

Esempio

x = (2, 4)

y = (-6, -12)

x = (-⅓) y

y = (-3) x

O proporzionale solo a se stesso.

Combinazione lineare

Considerati i vettori di R^m \( u_1 \, u_2 \, \ldots \, u_t \) e scalari α₁, α₂, α₃, ... α_t si dice combinazione lineare di \( u_1 \, u_2 \, \ldots \, u_t \) moltiplicando gli scalari α₁, α₂, ... α_t, il vettore di R^m ottenuto α₁u₁ + α₂u₂ ... α_tu_t.

Esempio

R³

\( y = (1, -1, 0) \)

\(\begin{align*}&α_{1} = -1 \\&α_{2} = 2 \\&α_{3} = -3 \\\end{align*}\)

\( u = (0, 1, -1) \)

\( w = (0, 2, 1) \)

α₁ y + α₂ u + α₃ w == (-1, 1, 0) + (0, 2, -2) + (0, -6, -3) == (-1, -3, -5)

Combinazione lineare 1 vettore

R² {(w) = {(n\*u) | n ∈ R\} = {(n, 2n) | n ∈ R\}}

Basta moltiplicare uno scalare (n) ∈ R per u:

\(\begin{align*}&y = (1, 2) \\&Sia \; S; \; u_1, u_2, \; \ldots \; u_4, \; \; u \; \; un \; sistema \; di \; vettori \; di \; R^m \\\end{align*}\)

Il vettore \(\sigma \) ∈R^m si dice dipendente (o dipendentemente linearmente) da S, se esistono h₁, h₂, ... h_t ∈ R | \(\sigma \) = h₁u₁ + h₂u₂ ... h_tu_t.

Ragionando in R³

\( y = (1, -1, 0) \)

\( w = (0, 2, 1) \)

\( u = (3, -1, 1) \)

S: { y, u, w }

Per capire se w dipende da S, dobbiamo calcolare la combinazione lineare tra y e w.

ω = α u + β v

(3, -1, 1) = α (1, -1, 0) + β (0, 2, 1)

(3, -1, 1) = (α, -α, 0) + (0, 2β, β)

3 = α + 0

-1 = -α + 2β

1 = 0 + β

β = 1

α = 3

ω è dipendente da S quando β = 1 e α = 3.

0 è sempre dipendente da un sistema di vettori S, basta porre due scalari uguali a zero, in alcuni casi però gli scalari possono essere diversi da zero, nonostante 0 sia dipendente da S.

A/G 11 26/09/2017