Sistemi lineari - Esercizi svolti quesiti vero falso

Sistemi lineari

Esercitazione n^o 1

Quesiti vero falso

Il sistema

{ ax - 5y = -1, x + by = 2

1. è impossibile se a = 4 e b = 5.
2. è indeterminato se a = -2 e b = 10.
3. è determinato se a = 2 e b = 4.
4. ha soluzione (-2, -1) se a = 3 e b = -10.

Risposta: a) F; b) V; c) V; d) V

Calcolo dei determinanti del sistema

D = |a   -5|
|4   b | = ab + 20;

D_x = |-1   -5|
|2   b | = 10 - b;

D_y = |a   -1|
|4   2 | = 2a + 4.

• a. Se a = 4 e b = 5 si ha D = 5 • 4 + 20 = 40 ≠ 0. L’affermazione è falsa.
• b. Se a = -2 e b = 10 si ha D = -2 • 10 + 20 = 0, D_x = 0, D_y = 0. L’affermazione è vera.
• c. Se a = 2 e b = 4 si ha D ≠ 0. L’affermazione è vera.
• d. Se a = 3 e b = -10 si ha D = -10, D_x = 20, D_y = 10.
  Quindi x = ^D_x/_D = -2, y = ^D_y/_D = -1. L’affermazione è vera.

Verifica dei sistemi

Senza risolverli, indica quale dei seguenti sistemi è determinato, quale è indeterminato e quale è impossibile. Quando è determinato, trova la soluzione.

• a. {2x + 3y = 2, 1/2x + 1/3y = 1/2} [Determinato: (1; 0)]
• b. {3x + 6y = 9, 1/3x + 2/3y = 1} [Indeterminato]
• c. {4x - 2y = 3, 1/2x - 1/4y = 2} [Impossibile]

Analisi dei rapporti dei coefficienti

• a. I rapporti dei coefficienti di x e di y sono:
  2/1 = 4; 3/1 = 9.1/2 1/3. Il sistema è determinato.
  Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione: {2x + 3y = 2x = 1/2 - 3/2 y} ⟹ 2 - 4/3 y + 3y = 2x = 1 - 2/3 y ⟹ 5/3 y = 0, x = 1 - 2/3 y ⟹ y = 0 ⟹ x = 1, x = 1 - 2/3 . 0. La soluzione del sistema è (1;0).
• b. I rapporti dei coefficienti del sistema sono: 3/1 = 9; 6/2 = 9; 9/3 = 9. Pertanto il sistema è indeterminato.
• c. I rapporti dei coefficienti del sistema sono: 4/1 = 8; -2/2 = 8; 3/2. Il sistema è impossibile.

Interpreta graficamente il sistema

a. Interpreta graficamente il sistema ⟨ { 2v = 3(x - 2), v = 1/2x + 3 } ⟩

b. Deduci la soluzione dal grafico e conferma il risultato con un metodo algebrico.

Risoluzione

a. Ricaviamo y in funzione di x:

• y = ³/₂ (x - 2)
• y = - ¹/₂ x + 3

Determiniamo due punti per ciascuna delle due funzioni.

• y = ³/₂ (x - 2), xy 0-3, 20
• y = - ¹/₂ x + 3, xy 03, 22

Le due rette si incontrano nel punto (3 ; ³/₂).