Serie numeriche, il resto di una serie e il criterio di Cauchy

Analisi 2: Serie numeriche

Resto di una serie

Definizione: Data la serie a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... = ⁺∑_n=1a_n, il resto di ordine k, o resto k-esimo, è la serie che si ottiene da quella data sopprimendo i primi k termini: a_k+1 + a_k+2 + a_k+3 + ... = ⁺∑_n=k+1a_n.

Esempio

Consideriamo la serie: 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n² + ... = ⁺∑_n=11/n² + 1. Se sopprimiamo i primi 8 termini, otteniamo la serie: 1/9² + 1/10² + 1/11² + ... = ⁺∑_n=91/n² + 1, che è il resto ottavo o di ordine otto.

Criterio generale di convergenza

Teorema: Criterio generale di convergenza o di Cauchy

La serie ⁺∑_n=1a_n è convergente se e solo se, fissato ad arbitrio un numero ε > 0, esiste un n̅ ∈ ℕ tale che, per ogni n > n̅ e qualunque sia k ∈ ℕ, si ha: |r_n,k| n+1 + a_n+2 + ... + a_n+k|.

Condizione necessaria di convergenza

Se una serie è convergente, il suo termine generale a_n tende a 0 per n → +∞: lim_n→+∞a_n = 0.