Serie numeriche e criteri di convergenza - Analisi 1

Indice documento

• Serie numeriche
• Serie geometrica
• Serie telescopica
• Serie di Mengoli
• Serie armonica
• Proprietà delle serie
• Condizione di Cauchy per le serie numeriche
• Criterio convergenza delle serie numeriche
• Condizione necessaria per convergenza delle serie numeriche
• Serie resto
• Serie a termini non negativi
• Criteri:
• Confronto
• Confronto asintotico
• Radice
• Rapporto
• Raabe
• Teorema della condensazione
• Serie a segno qualsiasi
• Criterio convergenza delle serie a segno qualsiasi
• Serie a segno alterno
• Teorema di Leibniz

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• Serie numeriche
• Serie geometrica
• Serie telescopica
• Serie di Mengoli
• Serie armonica
• Proprietà delle serie
• Condizione di Cauchy per le serie numeriche
• Criterio convergenza delle serie numeriche
• Condizione necessaria per convergenza delle serie numeriche
• Serie resto
• Serie a termini non negativi
• Criteri:
• Confronto
• Confronto asintotico
• Radice
• Rapporto
• Raabe
• Teorema della condensazione
• Serie a segno qualsiasi
• Criterio convergenza delle serie a segno qualsiasi
• Serie a segno alterno
• Teorema di Leibniz

Serie numeriche

Consideriamo ⟨a_n⟩ una successione di termini reali ⟨a_n⟩⊆R e supponiamo di fare la somma di tutti i termini di questa successione.

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n = ∑_n=1^∞ a_n

Per attribuire un valore numerico ad una somma infinita, si introduce il concetto di successione delle somme parziali ⟨S_n⟩.

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

S₃ = a₁ + a₂ + a₃

{S_n} = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n ⇒ successione delle somme parziali di ∑_n=1^∞ a_n

La coppia ordinata {a_n}⟨S_n⟩ si dice serie di termine generale a_n.

Studiare il carattere di una serie = attribuire un significato numerico alla somma infinita di termini.

Esempi

Esempio 1: Sia ⟨a_n⟩ = 0 ∀_n∈N

S₁ = a₁ = 0

S₂ = a₁ + a₂ = 0 + 0 = 0

S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = 0 + 0 + 0 = 0

... ⇒ {S_n} = 0 ∀_n∈N

lim S_n = 0

n→∞

La serie converge a zero.

Esempio 2: Sia ⟨a_n⟩ = 1 ∀_n∈N

S₁ = a₁ = 1

S₂ = 1 + 1 = 2

S_n = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n volte

⇒ {S_n} = n

lim S_n = lim n = +∞

n→∞

La serie diverge a +∞.

Esempio 3: Sia ⟨a_n⟩ = (-1)ⁿ ∀_n∈N

S₁ = -1

S₂ = -1 + 1 = 0

S₃ = -1 + 1 - 1 = -1

S₃ = -1 + 1 - 1 + 1 = 0

⇒ {S_n} = {0 se n pari; -1 se n dispari}

Non esiste il limite ⇒ la serie oscilla

Parole per dire queste sono convergenti e convergono a limiti diversi

Studiare una serie

Il valore numerico a cui possiamo attribuire alla somma infinita corrisponde al limite della successione delle somme parziali {s_n}.

Diciamo che la serie {a_n}; {s_n} è regolare se lim_n→∞ s_n è scrivibile ∑_n=1^∞ a_n = lim_n→∞ s_n

In particolare:

• ∃ lim_n→∞ s_n = L -> La serie converge
• = +∞ -> La serie diverge positivamente
• = -∞ -> La serie diverge negativamente

Diciamo che la serie {a_n}; {s_n} è oscillante se ∄ lim_n→∞ s_n

Individuare {s_n} attraverso

• Confronto con serie note
• Proprietà

Serie geometrica di ragione q ∈ ℝ

Consideriamo ∑_n=1^∞ q^n-1 oppure ∑_n=0^∞ qⁿ

S_n = 1 + q + q² + ... + q^n-1 → 1 + q + q² + ... + q^n-1 aggiungiamo e sottraiamo qⁿ →→ (1 + q + ... + q^n-1 + qⁿ) - qⁿ

→ 1 + q S_n - qⁿ

→ mettiamo in evidenza q...

→ S_n - q S_n