Serie numeriche - Appunti rapidi

Serie numerica

Serie numerica: Σ_n=0^∞ termine generico una successione di numeri reali con mεr.

Se introduciamo una nuova successione:

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

S₃ = S₂ + a₃

S_m = ...

lim_m→∞ S_m = Σ_i=1^∞ a_n

Carattere di una serie

• Convergente: lim_m→∞ S_m = e
• Divergente: lim_m→∞ S_m = ∞
• Irregolare: lim_m→∞ S_m = non esiste
• Indeterminata

Condizione necessaria in alcuni per la convergenza di una serie

Se lim_m→∞ a_n = 0 allora la Σ_n=0^∞ a_n converge !!!

Condizione solo necessaria!!!

Quindi se lim_m→∞ a_n ≠ 0 ⇒ la serie non converge

Serie a segno costante

• A termini positivi ∀ n ε N a_n > 0
• A termini negativi ∀ n ε N a_n < 0

Definizione... si vede da un certo punto in poi da serie a termini costanti non sono indeterminate !

• (1) O converge o diverge positivamente
• (2) O converge o diverge negativamente

Per capire se la serie è a segno costante basta studiare il segno del termine generico a_n>0

Serie numerica

Una successione di numeri reali con termine generale.

Se introduciamo una nuova successione:

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

S₃ = S₂ + a₃

S_n = ...

limm → ∞ S_m = ∑^∞_i=1 a_n

Carattere di una serie

• Convergente : lim S_m = e
• Divergente: lim S_m = ±∞
• Oscillante: lim S_m non esiste
• Indeterminata: lim S_m = forma oscillante indefinita

Condizione necessaria in qualunque per la convergenza di una serie

Se lim a_m = 0 allora la m → ∞ serie ∑^∞_n=1 a_n converge

Condizione solo necessaria!!!

Quindi se lim a_m ≠ 0 la serie m → ∞ non converge

Serie a segno costante

• A termini positivi (∀ n ∈ ℕ) ∀ a_n > 0
• A termini negativi (∀ n ∈ ℕ) ∀ a_n < 0

Definitivamente: ... si vede da un certo punto in poi.

Le serie a termini costanti non sono intermedie.

• (1) O converge o diverge positivamente
• (2) O converge o diverge negativamente

Per capire se la serie è a segno costante basta studiare il segno del termine generale a_n > 0

Criterio del confronto

Hp: ∑ a_n m=1 ∑ b_m m=1

Serie a termini definitivamente positivi.

Th: Se ∑ a_n diverge potr. allora ∑ b_n m=1 m=1 diverge pot. Se ∑ b_n converge allora ∑ a_n m=1 m=1 converge

Criterio del confronto asintotico per serie numeriche

Criterio del confronto asintotico per serie numeriche ∑ a_n m=1 m=1 ∑ b_m

Serie a termini positivi con b_n ∈ ℕ

Se lim a_n = Lm→∞ b_n

• Se L > 0 e due serie hanno stesso carattere
• Se L = 0 e b_n converge allora a_n converge
• Se L = ∞ e b_n diverge allora a_n diverge

Criterio del rapporto

Criterio del rapporto Sia ∑ a_n m=1 una serie a termini positivi con a_n ≠ 0

Se lim a_n+1 = L m→∞ a_n

• Se L > 1 allora ∑ a_n diverge positivamente
• Se L n converge
• Se L = 1 non posso dire nulla sul carattere della serie

Criterio della radice

Criterio della radice Sia ∑ a_n m=1 una serie a termini positivi

Se lim √a_n = L m→∞

• Se L > 1 e la serie ∑ a_n diverge positivamente
• Se L n converge
• Se L = 1 non posso dire nulla sul carattere della serie

Criterio di Leibniz

Criterio di Leibniz (per le serie a segni alterni) Sia ∑ (-1)ⁿ a_n una serie a segno variabile con a_n > 0 ∀ n ∈ ℕ

Se {a_n} è una successione a definizione verso lim a_n = 0 n→∞

{a_n} - definitivamente non crescente ossia esiste un n₀ ∀ n ≥ n₀ a_n+1 ≤ a_n

Th La serie converge