Appunti sulle Serie numeriche

Lezione 10 2/11/20

Serie numeriche

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Una serie è un tipo particolare di successione continua come segue:

Esempio

Def:

Data una successione _n Σ _k=0 a_k S_n a_n

Osservazione:

Esempio

Serie geometrica

Chiamiamo serie geometrica di ragione q _{(q ∈ R)} la serie _∑^∞n=0 qⁿ

Esempio

D q=1 S_ⁿ=_∑^nk=0 1^k = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n+1

D q=1 S_ⁿ=_∑^nk=0 1^k = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n+1

D q < 1 S_ⁿ=q_∑^nk=0 q^k = 1 + q + q² + ... + qⁿ se n → ∞ PGM se mappa

S_ⁿ=_∑^12k=0 q^k = 1+q+q²+...+qⁿ

Proprietà

S_ⁿ = ^1-qn+1/_1-q per q ≠ 1 dim: _∑^12k=0 q^k = 1 se qⁿ = fine

Per q ≠1 _∑^nk=0 q^k = 1+q+q²+qⁿ

Da cui S_ⁿ(q) = _∑^12k=0 q^k (oggi alcuni si trovano false)

S_ⁿ(q) = ^1-qn+1/_1-q q ≠4 q ≠4

Teorema (convergenza serie geometrica)

Sia q ∈ R e consideriamo la serie geometrica di ragione q S_∑12qⁿ

• Se |q| < 1 allora converge a 1/ (1-q)
• Se |q| = 1 e la serie diverge e non e un limite
• Se |q| = 1 & era q=1 converge a 0 allineati
• Se |q| = 1 e non in aggiungere, non limitato
• Se |q| e la serie e soggette, non limitato

dim: Si utilizza la proposizione precedente

S_ⁿ=^1-qn+1/_1-q per q ≠1 e si utilizza la serie della successione geometrica a_^krⁿ

• Se q≠1 allora S_ⁿ= 0 quando Sub q=1
• Se q=1 allora S_ⁿ=0 quando q=3
• Se q < 1 converge a < 1
• Si |q| < 1 converge e limite quando q=^Ti
• Si |q| =1 converge e limite quando Ti

Esempio

_∑^∞n=0 (1/2)ⁿ

D q= (1/5)ⁿ |q|=4,3 = ¹/₂ quando converge

_∑^∞n=0 (1/4)³ il S^_∞ (1/3) = 1/ (5)₁ convergenza = limite quando

1) ∑_n=0 (1/4)ⁿ q = 1/4 quando somma ∑_n=0 (1/q)ⁿ q > 1

Attenzione! Se avessimo sviluppato e avessimo scritto ∑(3/4)ⁿ = ∑(1-(1/4))ⁿ = 3 < 0 max. S_n = ∑{(1-(1/4)^k)(1-(1/4)^k+1)(1-(1/4)^k+2)...(...)} ≥ 1 ∀n e per il terreno di permanenza del segno lim S_n= ∈ Oss. importante: Attenzione il limite di una servo geometric convergente quando a seconda del primo inces. fermandosi

Esempio

S_n= 2 (1/4)¹

S_n=3 (1/4)¹

S_n=3 (1/4)¹+...+ (1/4)ⁿ⁺¹

S_n=2 {...}

S_n=3 (1/4)ⁿ{1-(1/4)^k})^k=0= ∈ lim S_n= 1/1- ∈0

In generale: Se (q^1/4<4∑{ = ∈ + q} += q=∑;e la stessa case servine ∑_n=2 φ;( x^n-1+x)n, x∈

Esempio

q = 0,5 ∈ S_n= 3 (1/4)¹{0,5-*}=a /∈ {...} ∈ serves geometric

0,49a10q = ∈ q ∈1/9 ∈q1,4 ∈ ∈∈ -3-= 10 0 10 0 10 0

Serie telescopica

def: Se ∈veraicarbon ∈∈ ∈ S_m=∑(1/b-b)/∈

oss: Se ∈ verhecarbons son servo ∈ S_n=