Serie e successioni

Numeri naturali, interi e razionali

N numeri naturali 0,1,2,3... Z numeri interi relativi ...2, ...1,0,1,2,3

Operazioni in N: + : N x N N (&mn, p) m + p ∈ N x : N x N N p 1 n + p: proprietà: associativa m+(n+p) (m+n)+p commutativa m+p p+m ₀ é elemento neutro (rispetto a +) 0 + m m x proprietà: associativa (m x n) x p m(n x p) commutativa n x m m x n ₁ : elemento neutro 1 x n n proprietà: distributiva n (m + p) nm + np

Operazioni su Z: + Z x Z vogliono gli stessi assiomi (proprietà) di N e inoltre esistenza dell'opposto + ∈ m ∈ Z tale che m + m= ∈( m= - m ) m - 1m (Z,+) é un gruppo commutativo (Abeliano) anello con più Q numeri razionali = (m)(m,n ∈ Zm ∈ 0)

Sono i numeri decimali finiti o periodici le operazioni in elencidatura: + : Q x Q Q si impiccione vogliono gli stessi assiomi di N gruppo commutativo involve la denominazione Q = {0} e propone rispetto alle non dipinge alla unele elemento p (q / q1 ) ∈ Z = 0 | q ∈ Q ∈ (2 0)> q q = q1

DEF: A fimearei K con due promozione q/1 = q- 1,∈,-k+1core adella propria altra due x : K x K kforo che () gruppo commutativo si detta Campo - gruppo commutativo

Numeri naturali, interi relativi e operazioni

N numeri naturali 0,1,2,3. Z numeri interi relativi ...,2,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3

Operazioni in N

Operazioni in N: + :N x N ➔ N (m,n) ➔ m + n x : N x N ➔ N (m,n) ➔ m x n

+ proprietà: associativa m+(n+p) = (m+n)+p commutativa m+n = n+m 0 è elemento neutro (rispetto a +) 0 + n = n

x proprietà: associativa (m x n) x p = m (n x p) commutativa mn = nm 1 è elemento neutro 1 x n = n proprietà distributiva n (m + p) = nm + np

Operazioni su Z

Operazioni su Z: + : Z x Z ➔ Z x : Z x Z ➔ Z valgono gli stessi assiomi (proprietà) di N e inoltre l'esistenza dell'opposto per + ∀ m ∈ Z ∃m ∈ Z tale che m + m = 0 (m = -m ➔ m = -1m) (Z,+) è un gruppo commutativo (abeliano)

Numeri razionali

Q numeri razionali: m/n, m,n ∈ Z m ≠ 0 in termini decimali finiti o periodici

Le operazioni in Q sono: + : Q x Q ➔ Q; x : Q x Q ➔ Q; in più valgono gli stessi assiomi di HQ/ (Z) + (x) gruppo commutativo inoltre l'inverso ∀ app 0 ∃ Q tale che (-x) in questo elemento: a/b x n/a = 1

Definizione di anello e campo

DEF. Un insieme K con le operazioni +, x si dice anello se valgono le proprietà (sottointese) {+ : K x K ➔ K} x : K x K ➔ K tale che (K,+) gruppo commutativo (K=0) (=1) si detta campo - corpo commutativo

Relazione d'ordine e insiemi ordinati

Su _{, 2} ⊆ ℚ di anche una relazione d'ordine (sono insiemi ordinati) Se un insieme _s una relazione d'ordine, in S c'è una legge che confronta solo se si x, y Successione ( S , ℓ ): insieme totalmente ordinato, T ⊆ S un sottoinsieme (limitatore o estremo ) se Y ∈ S se Y ∈ T (risp. X ∈ Z ∀ X ∈ Z ∀ x ∉ T )

Ex. ℤ ⊆ ℚ non max , min da { 0,1 } = 2 T Q ⊆ S superiamo per n ∈ N: non trova max n vero minorante 0 ⊆ { 1 , 0 } D ∃ T ex. T = ℕ C ≤ S : Z-1 è max ℕ-2

I sottoinsiemi di (S, ≤ ) totalmente ordinato, per un massimo se un elemento di T che se un minorante di l'elemento di x ∈ Z per antisimmetria di _≤ ( x = l max/min è unico Se x,x' sono due massimi x ∈ T ( x ) x , →x ∈ T ( x' è un maggionale ) ⇒x = x'

Estremo inferiore e superiore

Ex.1 _nm+1 e 1 elevato l'infinitamente 1 tuttavia non ha un minimo

DIMOSTRAZIONE per assurdo -> ₁/m_o - minimo con m _∈ N − {0} assurdo perché ₁/_mo+1 < ₁/m_o (non vale) -> peccato! Non abbiamo un minimo

Altrimenti S ammette un estremo Estremo inferiore inf (T) se l'insieme dei minoranti ammette un massimo sup (T) Estremo inferiore = massimo dei minoranti = inf (T) Estremo superiore = minimo dei maggioranti = sup (T)

T = ₁ ∗ _{m ∈ N − {0}} } T ⊃ 0 mentre min (T) non esiste ∈ a(dominanti di T -> a_x ≤ 0 N c Z c Q (Z,+ ) gruppo commutativo (Q,+