Serie di Fourier, Analisi matematica II

Polinomi trigonometrici o serie di Fourier

Def. Un polinomio trigonometrico è dato da T_n(x) = a₀/2 + E_n=1^∞[a_ncos(nx) + b_nsen(nx)] ha periodo 2π.

• Convergenza lim T_n(x) = a₀/2 + E a_ncos(nx) + b_nsen(nx)?
• Costruzione di T_n(x) a partire da f(x) periodica.

Esempio: E cos1x = è una serie di Fourier con a₀ = 0, ∀k = 0 ∀k a_n = 1/n E cos(nx)/1/n³ ≤ 1/n³.

Ma convergenza assoluta ∀x ε R.

Prop. Se è convergente la serie numerica E |a_n| + |b_n| ⇒ la serie di Fourier a₀/2 + E a_ncos(nx) + b_nsen(nx) è convergente.

Ma come devono a_n, b_n?

∫_−π^πf(x)cos(mx) dx = a₀/2 ∫_−π^πcos(mx) dx + E a_n∫_−π^πcos₀ xcon(mx) dx ++ E b_n ∫_−π^πsen(kx)cos(mx) dx.

Osserviamo che: ∫_−π^πcos(mx)sen(mx) dx = E ∋ ⊆ a = E sen(mx)cos(mx)dx ∋.

Polinomi trigonometrici o serie di Fourier

Def: Un polinomio trigonometrico è dato da T_n(x) = a₀/2 + ∑(a_ncos(n(x)) + b_nsin(n(x))) ha periodo 2π.

• Convergenza lim T_n(x) = a₀/2 + ∑a_ni(x) + b_nsen(n(x))?
• Costruzione di T_n(x) a partire da f(x) periodica.

Esempio: ∑ cos nx/n² è una serie di Fourier con a₀ = 0, b_n = 0 ∀k a_n = 1/√n ∫(cos(nx)/n³) ≤ 9/n³.

Ha convergenza assoluta ∀x∈ℝ.

Prop. Se è convergente la serie numerica ∑|an| |bn| ⇒ la serie di Fourier a₀/2 + ∑a_ncos(nx) + b_nsen(nx) è convergente.

Ma come devono a_n, b_n?

∫ f(x)cos(mx) dx = a₀/2 ∫ cos mx dx + ∑an ∫ cos kx cos mx dx ++ ∑b_n ∫ sen k(x) cos(mx) dx.

Osserviamo dei: a_m=1/π∫_−π^πf(x)cos(mx)dx m=1,2,... a₀=1/π∫_−π^πFxdx b_m=1/π∫_−π^πf(x)sen(mx)dx m=1,2...

Oss. Se F ha periodo 2π i coefficienti non cambiano se li otteniamo integrando su un qualsiasi intervallo di lunghezza 2π.

Dim. w∈ℝ; ∫₀^a+2πg(x)dx=∫_w^ag(x)dx+∫_−w^ag(x)dx+∫_π^a+2πg(x)dx=∫_w^yg(x)dx x=4+2π; ∫_−π^ag(x)dx=∫_−π⁰g(4+u)dq=∫_w⁰g<x>d[x]=∫_w^ag(x)dx.

1° f=q 2° q=∫cos(nx) 3° y=f(x)sen(nx).

Oss. Se F è pari (F(-x)=F(x)), la sua serie di Fourier è data da T(x)=a₀/2+∑a_ncos(nx) n=0. Se F è dispari, la sua serie di Fourier è data N(x)=∑a_nsen(nx) n=0.

Convergenza puntuale e uniforme

Def: Una funzione \( f : [a/b] \to R \) è regolare a tratti x esiste un numero finito di punti: \( a = x_0 \).

Teorema: Data \( f : R \to R \) una funzione \(\tau\) periodica e regolare se tratti, allora valgono le seguenti conclusioni:

• La serie di Fourier associata a \( f \) converge in ogni punto x ∈ R.

\( \tilde{f}(x) = \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} \)

• Se \( f \) è ande continuo la serie di Fourier converge uniformemente a \( f \) in R.

Diseguaglianza di Bessel

(Cross) Disequalianza di Bessel: (Cross) \( \frac{{a_0}^2}{2} + \sum_{n=1}^{m} b_n^2 k_n^2 \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [F(\xi)]^2 dt \).

Supponiamo che (Cross) e di Fourier (Cross) convegge uniformemente (Cross) possono scambiare le simbolo la di serie e quello di integrale col la serie ni pour intergale termiv o termini povi pr la serie di Fourier vale un risultato (Cross).

(Cross) (Teorema) Sica f periodica e continua tratti, allora la sua serie di Fourier si può integrare termine a termine cioè: (Cross) \( S(f) = a(x) = (x-x_0) \pm b(x) = \int_{a_x}^{b} (x - x_0 + b) \sin(nx) + b_n \sin nx \cos n x + b m n (H E) dt \).

Disuguaglianza di Bessel

w₂/2 + ∑ₐ_n² + b_n² ∈ 1/π∫[F(t)]²dt.

Dimostrazione: Si ha ∫_−π^π[F(t) - T_m(t)]²dt >= 0 da cui ∫_−π^π[F(t)]²dt >= 2∫_−π^πF(t)ₒ - ∫_−π^π[m]² - 2π[w_a/2 + ∑ₐ_n² + b_n²] - [w_a/2 + ∑ₐ_n² + b_n²].

Radisuguaglianza di Bessel implica che la serie convergend un un-DO|un-DO cioè x f², integrabile.

lim ∫[f(t)cosAt]dt = lim ∫[f(t)sinAt]dt = 0 t-0∞ t-0∞.

Inversione di Fourier

Inverse e di Fourier individuare in modo univoco la funzione.

Teorema: Se f₁ f₂ sono funzioni continue e periodiche chele hanne gli stem coefficienti di Fourier allin.

Sappiamo che se uno serie converge uniformemente si possono scambiare il simbolo di serie e quello di integrale cioè la serie si può integrare tenutre a tenutire pero per la serie di Fourier vale un risultato un a∈n≤cos.

Teorema: Sia f periodica e continua e bratti: allora la sue serie di Fourier si può integrare teniture atenure cando se non c’è convergenza uniforme e memmop restante.

∫_x0^x f(ξ)dξ - ω₀² (x - x₀) = ∫_x0^x ∑_m=1^∞ [a_mcoskt + b_nsinkt]dtx₀ e [ ].

Funzioni di periodo L

Se f ha periodo L > 0 invece di 2π e sull'intervallo applicando il teorema precedente alle funzioni f(Ly/2π) dove ho periodo 2π.

an₀² + ∑_n=1^∞ a_ncos(nω₀x) + b_nsen(nω₀x) ω₀ = π/L.

I coefficienti di Fourier sono dati da: α⁰ = 2/L ∫_−L/2^L/2 f(x) cos(kω₀x) dx β_n = 2/L ∫_−L/2^L/2 f(x) sen(kω₀x) dx.

am₀ e cos(y) = f(Ly/2π) g = 9(y) = f(2y/ 2π) è periodica di periodo 2π.

f(Ly/2π) = g(y) = a₀/2 + ∑_m=1^∞ a_n cos(ny) + b_n sin(ny)cos(m + 1) - e ed₀ = 2/L ∫_−1/2^1/2 f(x) dx